Inhalt

• Schrëtt

Eng trigonometresch Equatioun enthält eng oder méi trigonometresch Funktiounen vun der Variabel "x" (oder all aner Variabel). Eng trigonometresch Equatioun ze léisen ass sou e Wäert "x" ze fannen deen d'Funktioun (en) an d'Gleichung als Ganzt erfëllt.

• Léisunge fir trigonometresch Equatioune ginn a Grad oder Radianer ausgedréckt. Beispiller:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 Grad; x = 37,12 Grad; x = 178,37 Grad.

• Notiz: d'Wäerter vun trigonometresche Funktiounen aus Engelen, ausgedréckt a Radianer, a vu Wénkel, ausgedréckt a Grad, si gläich. En trigonometresche Krees mat engem Radius gläich wéi een gëtt benotzt fir trigonometresch Funktiounen ze beschreiwen, souwéi fir d'Korrektheet vun der Léisung vun de Basis trigonometresche Gleichungen an Ongläichheeten ze kontrolléieren.
• Beispiller vun trigonometresche Gleichungen:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. En trigonometresche Krees mat engem Radius vun engem (Eenheetskrees).
   • Et ass e Krees mat engem Radius gläich wéi een an am Zentrum um Punkt O. Den Eenheetskrees beschreift 4 Basis trigonometresch Funktiounen vun der Variabel "x", wou "x" de Wénkel ass gemooss aus der positiver Richtung vun der X Achs géint d'Auer.
   • Wann "x" e Wénkel am Eenheetskrees ass, dann:
   • Déi horizontal Achs OAx definéiert d'Funktioun F (x) = cos x.
   • Déi vertikal Achs OBy definéiert d'Funktioun F (x) = sin x.
   • Déi vertikal Achs AT definéiert d'Funktioun F (x) = tan x.
   • Déi horizontal Achs BU definéiert d'Funktioun F (x) = ctg x.

• Den Eenheetskrees gëtt och benotzt fir Basis trigonometresch Gleichungen an Ongläichheeten ze léisen (verschidde Positioune vun "x" ginn ugesinn).

Schrëtt

1. 1 D'Konzept fir Trigonometresch Equatiounen ze léisen.
   • Fir eng trigonometresch Equatioun ze léisen, konvertéiert se an eng oder méi Basis trigonometresch Equatioune. D'Léisung vun enger trigonometrescher Equatioun kënnt schlussendlech op d'Léisung vu véier Basis trigonometresch Equatioune.
2. 2 Basis trigonometresch Equatioune léisen.
   • Et gi 4 Aarte vu Basis trigonometresche Gleichungen:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Basis trigonometresch Equatioune léisen implizéiert déi verschidde x Positiounen um Eenheetskrees ze kucken an eng Konversiounstabell (oder Rechner) ze benotzen.
   • Beispill 1.sin x = 0.866. Mat enger Konversiounstabell (oder Rechner) kritt Dir d'Äntwert: x = π / 3. Den Eenheetskrees gëtt eng aner Äntwert: 2π / 3. Denkt drun: all trigonometresch Funktiounen si periodesch, dat heescht hir Wäerter ginn widderholl. Zum Beispill ass d'Periodizitéit vu Sin x a cos x 2πn, an d'Periodizitéit vun tg x a ctg x ass πn. Dofir gëtt d'Äntwert wéi follegt geschriwwen:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Beispill 2.cos x = -1/2. Mat enger Konversiounstabell (oder Rechner) kritt Dir d'Äntwert: x = 2π / 3. Den Eenheetskrees gëtt eng aner Äntwert: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Beispill 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Äntwert: x = π / 4 + πn.
   • Beispill 4. ctg 2x = 1.732.
   • Äntwert: x = π / 12 + πn.
3. 3 Transformatiounen benotzt fir trigonometresch Equatioune ze léisen.
   • Fir trigonometresch Gleichungen ze transforméieren, ginn algebraesch Transformatiounen (Faktoriséierung, Reduktioun vun homogene Begrëffer, etc.) an trigonometresch Identitéiten benotzt.
   • Beispill 5. Mat trigonometresche Identitéiten, gëtt d'Gläichung sin x + sin 2x + sin 3x = 0 an d'Gleichung transforméiert 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Dofir musst Dir léisen déi folgend Basis trigonometresch Gleichungen: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Fannt Engelen aus bekannte Wäerter vu Funktiounen.
   • Ier Dir Methoden léiert fir trigonometresch Equatioune ze léisen, musst Dir léiere wéi Dir Winkele vu bekannte Funktiounswäerter fannt. Dëst kann mat enger Konversiounstabell oder engem Rechner gemaach ginn.
   • Beispill: cos x = 0,732. De Rechner gëtt d'Äntwert x = 42,95 Grad. Den Eenheetskrees gëtt zousätzlech Winkelen, vun deenen d'Kosinus och 0,732 ass.
5. 5 Setzt d'Léisung op den Eenheetskrees.
   • Dir kënnt d'Léisunge vun der trigonometrescher Equatioun um Eenheetskrees ausstellen. D'Léisunge vun der trigonometrescher Equatioun um Eenheetskrees sinn d'Wirbelen vun engem reegelméissege Polygon.
   • Beispill: D'Léisungen x = π / 3 + πn / 2 um Eenheetskrees sinn d'Wirbele vun engem Quadrat.
   • Beispill: D'Léisungen x = π / 4 + πn / 3 um Eenheetskrees stellen d'Wirbelen vun engem normale Hexagon duer.
6. 6 Methoden fir Trigonometresch Equatiounen ze léisen.
   • Wann eng uginn Triggleichung nëmmen eng Trigfunktioun enthält, léist dës Equatioun als Basis Triggläichung.Wann eng uginn Equatioun zwee oder méi trigonometresch Funktiounen enthält, da ginn et 2 Methoden fir sou eng Equatioun ze léisen (ofhängeg vun der Méiglechkeet vu senger Transformatioun).
     • Method 1.
   • Konvertéiert dës Equatioun an eng Equatioun vun der Form: f (x) * g (x) * h (x) = 0, wou f (x), g (x), h (x) déi elementar trigonometresch Equatioune sinn.
     
     
   • Beispill 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Léisung. Mat der Duebelwénkelformel sin 2x = 2 * sin x * cos x, ersetzt sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Elo léisen déi zwee Basis trigonometresch Equatioune: cos x = 0 an (sin x + 1) = 0.
   • Beispill 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Léisung: Benotzt trigonometresch Identitéiten, transforméiert dës Equatioun an eng Equatioun vun der Form: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Elo léist déi zwee Basis trigonometresch Gleichungen: cos 2x = 0 an (2cos x + 1) = 0.
   • Beispill 8. sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Léisung: Benotzt trigonometresch Identitéiten, transforméiert dës Equatioun an eng Equatioun vun der Form: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Elo léist déi zwee Basis trigonometresch Equatioune: cos 2x = 0 an (2sin x + 1) = 0.
     • Method 2.
   • Konvertéiert déi uginn trigonometresch Equatioun an eng Equatioun déi nëmmen eng trigonometresch Funktioun enthält. Ersetzt dann dës trigonometresch Funktioun mat enger Onbekannter, zum Beispill t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t, etc.).
   • Beispill 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Léisung. An dëser Equatioun ersetzen (cos ^ 2 x) mat (1 - sin ^ 2 x) (no Identitéit). Déi transforméiert Equatioun ass:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Ersetzen sin x mat t. D'Gläichung gesäit elo esou aus: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dëst ass eng quadratesch Equatioun mat zwou Wuerzelen: t1 = -1 an t2 = 9/5. Déi zweet Root t2 entsprécht net d'Gamme vu Wäerter vun der Funktioun (-1 sin x 1). Elo entscheet: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Beispill 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Léisung. Ersetzen tg x mat t. Omschreift déi ursprénglech Equatioun wéi follegt: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Fannt elo t an da fënnt x fir t = tg x.
7. 7 Speziell trigonometresch Equatioune.
   • Et gi verschidde speziell trigonometresch Equatioune déi spezifesch Transformatiounen erfuerderen. Beispiller:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Periodizitéit vun trigonometresche Funktiounen.
   • Wéi virdru scho gesot, all trigonometresch Funktiounen si periodesch, dat heescht hir Wäerter ginn no enger gewësser Period widderholl. Beispiller:
     • D'Period vun der Funktioun f (x) = sin x ass 2π.
     • D'Period vun der Funktioun f (x) = tan x ass gläich wéi π.
     • D'Period vun der Funktioun f (x) = sin 2x ass π.
     • D'Period vun der Funktioun f (x) = cos (x / 2) ass 4π.
   • Wann d'Period am Problem spezifizéiert ass, berechent de Wäert "x" bannent dëser Period.
   • Notiz: Trigonometresch Equatioune léisen ass keng einfach Aufgab a féiert dacks zu Feeler. Also préift Är Äntwerten suergfälteg. Fir dëst ze maachen, kënnt Dir e Grafikrechner benotzen fir déi uginn Equatioun R (x) = 0. ze plangen.