Inhalt

• Schrëtt
• Method 1 vun 3: Factoring eng Equatioun
• Method 2 vun 3: Mat der quadratescher Formel
• Method 3 vun 3: D'Plaz fäerdeg maachen
• Tipps

Eng quadratesch Equatioun ass eng Equatioun an där déi gréisste Kraaft vun enger Variabel 2. Et ginn dräi Haaptmethoden fir quadratesch Equatiounen ze léisen: wa méiglech, faktoréiert déi quadratesch Equatioun, benotzt déi quadratesch Formel, oder fëllt de Quadrat aus. Wëllt Dir wësse wéi dëst alles gemaach gëtt? Liest weider.

Schrëtt

Method 1 vun 3: Factoring eng Equatioun

1. 1 Fügt all déi ähnlech Elementer derbäi an iwwerdréit se op eng Säit vun der Gleichung. Dëst wäert den éischte Schrëtt sinn, dat heescht ${ displaystyle x ^ {2}}$ an dësem Fall sollt et positiv bleiwen. Füügt oder subtrahéiert all Wäerter ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ a konstant, alles an een Deel iwwerdroen an 0 am aneren hannerloossen. Hei ass wéi et ze maachen:
   • ${ Displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ Displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {2} -11x -4 = 0}$
2. 2 Faktor den Ausdrock. Fir dëst ze maachen, musst Dir d'Wäerter benotzen ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3), konstant Wäerter (-4), si musse multiplizéiert a -11 formen. Hei ass wéi et ze maachen:
   • ${ Displaystyle 3x ^ {2}}$ huet nëmmen zwee méiglech Faktoren: ${ Displaystyle 3x}$ an ${ displaystyle x}$sou datt se an Klammern geschriwwe kënne ginn: ${ displaystyle (3x pm?) (x pm?) = 0}$.
   • Als nächst ersetzen d'Faktore vu 4, fanne mir d'Kombinatioun déi, wann multiplizéiert, -11x gëtt. Dir kënnt eng Kombinatioun vu 4 an 1, oder 2 an 2 benotzen, well béid ginn 4. Denkt drun datt d'Wäerter negativ musse sinn, well mir hunn -4.
   • Duerch Versuch a Feeler kritt Dir d'Kombinatioun ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... Wa mir multiplizéieren, kréien mir ${ Displaystyle 3x ^ {2} -12x + x -4}$... Duerch d'Verbindung ${ displaystyle -12x}$ an ${ displaystyle x}$, mir kréien de Mëttelstand ${ displaystyle -11x}$déi mir gesicht hunn. Déi quadratesch Equatioun gëtt faktoriséiert.
   • Zum Beispill, loosst eis eng onpassend Kombinatioun probéieren: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ Displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... Kombinéieren, mir kréien ${ Displaystyle 3x ^ {2} -4x -4}$... Och wann d'Faktore -2 an 2 sech op -4 multiplizéieren, funktionnéiert de Mëttelfrist net, well mir wollte kréien ${ displaystyle -11x}$, awer net ${ Displaystyle -4x}$.
3. 3 Gläicht all Ausdrock an Klammern op Null (als getrennte Gleichungen). Dëst ass wéi mir zwou Bedeitunge fannen ${ displaystyle x}$fir déi d'ganz Equatioun gläich ass wéi Null, ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. Elo bleift et fir jiddereng vun den Ausdréck an de Klammeren op Null ze gläichen. Firwat? De Punkt ass datt d'Produkt op Null gläich ass wann op d'mannst ee vun de Faktore gläich wéi Null ass. Wéi ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ ass null, dann ass entweder (3x + 1) oder (x - 4) null. Schreift Iech an ${ Displaystyle 3x + 1 = 0}$ an ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 Léist all Equatioun separat. An enger quadratescher Equatioun huet x zwou Bedeitungen. Léist d'Gleichungen a schreift d'x Wäerter op:
   • Léist d'Gläichung 3x + 1 = 0
     • 3x = -1 ..... duerch subtrahéieren
     • 3x / 3 = -1/3 ..... duerch deelen
     • x = -1/3 ..... no Vereinfachung
   • Léisen d'Gläichung x - 4 = 0
     • x = 4 ..... duerch Subtraktioun
   • x = (-1/3, 4) ..... méiglech Wäerter, dh x = -1/3 oder x = 4.
5. 5 Préift x = -1/3 andeems Dir dëse Wäert an (3x + 1) (x - 4) = 0 pluggt:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3]- 4)? =? 0 ..... duerch Ersatz
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... no Vereinfachung
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... no der Multiplikatioun
   • 0 = 0, also x = -1/3 ass déi richteg Äntwert.
6. 6 Préift x = 4 andeems Dir dëse Wäert an (3x + 1) (x - 4) = 0 pluggt:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0 ..... duerch Ersatz
   • (13) (4 - 4)? =? 0 ..... no Vereinfachung
   • (13) (0) = 0 ..... no der Multiplikatioun
   • 0 = 0, dofir ass x = 4 déi richteg Äntwert.
   • Also si béid Léisunge richteg.

Method 2 vun 3: Mat der quadratescher Formel

1. 1 Kombinéiert all Begrëffer a schreift op enger Säit vun der Gleichung. Spuert de Wäert ${ displaystyle x ^ {2}}$ positiv. Schreift d'Begrëffer an der Uerdnung vun de reduzéierende Grad, also de Begrëff ${ displaystyle x ^ {2}}$ als éischt geschriwwen, dann ${ displaystyle x}$ an dann eng konstant:
   • 4x - 5x - 13 = x -5
   • 4x - x - 5x - 13 +5 = 0
   • 3x - 5x - 8 = 0
2. 2 Schreift d'Formel fir d'Wurzelen vun enger quadratescher Equatioun op. D'Formel gesäit esou aus: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 Bestëmmt d'Wäerter vun a, b, an c an enger quadratescher Equatioun. Variabel a ass de Koeffizient vum Begrëff x, b - Member x, c - konstant. Fir Equatioun 3x -5x -8 = 0, a = 3, b = -5, a c = -8. Schreift et op.
4. 4 Plug d'Wäerter fir a, b, a c an d'Gleichung. Wann Dir d'Wäerter vun den dräi Variablen kennt, kënnt Dir se an d'Gläichung pluggen wéi follegt:
   • {-b +/- √ (b- 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 Zielt et op. Ersetzen d'Wäerter, vereinfachen d'Virdeeler an Nodeeler, a multiplizéieren oder quadréieren déi verbleiwen Begrëffer:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 Vereinfach de Quadratwurzel. Wann de Quadratwurzel e Quadrat ass, kritt Dir en Ganzt. Wann net, vereinfacht et zum einfachsten Rootwäert. Wann d'Zuel negativ ass, an Dir sidd sécher datt et negativ muss sinn, da wäerte d'Wuerzelen komplex sinn. An dësem Beispill √ (121) = 11. Dir kënnt dat x = (5 +/- 11) / 6 schreiwen.
7. 7 Fannt positiv an negativ Léisungen. Wann Dir de Quadratwurzel Zeeche geläscht hutt, kënnt Dir weiderfueren bis Dir positiv an negativ x Wäerter fannt. Wann Dir (5 +/- 11) / 6 hutt, kënnt Dir schreiwen:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 Fannt positiv an negativ Wäerter. Just zielen:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 Vereinfachen. Fir dëst ze maachen, deelt einfach béid mam gréisste gemeinsame Faktor. Deelt déi éischt Fraktioun mat 2, déi zweet mat 6, x gëtt fonnt.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • x = (-1, 8/3)

Method 3 vun 3: D'Plaz fäerdeg maachen

1. 1 Beweegt all Begrëffer op eng Säit vun der Gleichung.a oder x muss positiv sinn. Dëst gëtt esou gemaach:
   • 2x - 9 = 12x =
   • 2x - 12x - 9 = 0
     • An dëser Equatioun a: 2, b: -12,c: -9.
2. 2 Transfer Member c (permanent) op déi aner Säit. Eng Konstant ass e Begrëff an enger Equatioun déi nëmmen en numeresche Wäert enthält, ouni Variabelen.Beweegt se op déi riets Säit:
   • 2x - 12x - 9 = 0
   • 2x - 12x = 9
3. 3 Deelt béid Deeler no Faktor a oder x. Wann x kee Koeffizient huet, dann ass et gläich wéi een an dëse Schrëtt kann iwwersprongen ginn. An eisem Beispill deele mir all Memberen duerch 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • x - 6x = 9/2
4. 4 Deelen b vun 2, quadratesch a füügt op béide Säiten. An eisem Beispill b gläich -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • x - 6x + 9 = 9/2 + 9
5. 5 Einfach béid Säiten. Quadréiert d'Konditioune lénks fir (x-3) (x-3) oder (x-3) ze kréien. Fügt d'Konditioune riets fir 9/2 + 9, oder 9/2 + 18/2 ze maachen, dat ass 27/2.
6. 6 Extrait de Quadratwurzel vu béide Säiten. De Quadratwurzel vun (x-3) ass einfach (x-3). De Quadratwurzel vum 27/2 kann als ± √ (27/2) geschriwwe ginn. Also, x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 Vereinfacht radikal Ausdrock a fanne x. Fir ± √ (27/2) ze vereinfachen, fënnt de perfekte Quadrat an den Zuelen 27 an 2, oder hir Faktoren. Am 27 gëtt et e komplette Quadrat vun 9, well 9 x 3 = 27. Fir 9 aus dem Rootzeechen ofzeleeden, huelt d'Wurzel dovun an dréckt 3 vum Rootzeechen of. Loosst 3 an den Zifferen vun der Fraktioun ënner dem Rootzeechen, well dëse Faktor kann net extrahéiert ginn, a loosst och 2 um Enn. Als nächst plënnert de konstante 3 vun der lénkser Säit vun der Equatioun op déi riets Säit a schreift déi zwou Léisunge fir x:
   • x = 3 + (√6) / 2
   • x = 3 - (√6) / 2)

Tipps

• Wann d'Zuel ënner dem Rootzeechen net e komplette Quadrat ass, da ginn déi lescht Schrëtt liicht anescht ausgefouert. Hei ass e Beispill:
• Wéi Dir kënnt gesinn, ass d'Wurzelzeechen net verschwonnen. Op dës Manéier kënnen d'Begrëffer an den Teller net kombinéiert ginn. Da gëtt et kee Sënn fir de Plus oder Minus opzedeelen. Amplaz deele mir all gemeinsam Faktoren - awer nëmmen wann de Faktor gemeinsam fir de konstante an Root Koeffizient.