Inhalt

• Ze trëppelen
• Method 1 vun 2: Root Pulling mat Haaptfaktoren
• Methode 2 vun 2: Fannt Quadratwurzelen ouni Rechner
• Mat laanger Divisioun
• D'Prozedur verstoen
• Tipps
• Warnungen

Virun der Advent vu Rechner hu béid Studenten a Proffen Quadratwurzele mat Bic a Pabeier ze berechnen. Verschidde Techniken goufen zu där Zäit entwéckelt fir dësen heiansdo schwieregen Job unzegoen, e puer dovun eng graff Schätzung an anerer berechnen de genauen Wäert. Weiderliesen fir ze léieren wéi d'Feldwuerzel vun enger Zuel an e puer einfache Schrëtt ze fannen ass.

Ze trëppelen

Method 1 vun 2: Root Pulling mat Haaptfaktoren

1. Deelt Är Zuel a Kraaftfaktoren. Dës Method benotzt d'Faktore vun enger Zuel fir de Quadratwurzel vun enger Zuel ze fannen (ofhängeg vun der Zuel, et kann eng exakt Äntwert oder eng Schätzung sinn). Den Faktoren vun enger bestëmmter Zuel sinn all Reiefolleg vun Zuelen, déi matenee multiplizéiert ginn, fir déi bestëmmten Zuel ze bilden. Zum Beispill kënnt Dir soen datt d'Faktore vun 8 gläich wéi 2 a 4 sinn, well 2 × 4 = 8. Perfekt Quadrater, op der anerer Säit, si ganz Zuelen, déi d'Produkt vun anere ganz Zuele sinn. Zum Beispill, 25, 36 an 49 si perfekt Quadrater, well se gläich 5, 6 a 7 sinn. Zweete Kraaftfaktoren, wéi Dir et verstanen hutt, si Facteuren, déi och perfekt Quadrater sinn. Fir eng Quadratwurzel ze fannen mat Primfaktoren, probéiert d'éischt d'Zuel a seng zweet Kraaftfaktoren ze deelen.
   • Huelt folgend Beispill. Mir fannen d'Quadratwurzel vun 400. Fir unzefänken deelen mir d'Zuel a Kraaftfaktoren. Zënter 400 ass e Multiple vun 100, wësse mer datt et gläichméisseg deelbar ass mat 25 - e perfekte Quadrat. Séier Rote erzielt eis datt 400/25 = 16.16 och e perfekte Quadrat ass. Also d'Wierfel Faktore vu 400 sinn 25 a 16 well 25 × 16 = 400.
   • Mir schreiwen dat als: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Huelt d'Quadratwurzelen vun Ären zweete Kraaftfaktoren. D'Produktregel vu Quadratwurzelen seet dat fir all bestëmmten Zuel a an b, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Wéinst dëser Eegeschaft kënne mir elo d'Quadratwurzele vun de Quadratfaktore huelen an se zesumme multiplizéieren fir d'Äntwert ze kréien.
   • An eisem Beispill huele mir d'Quadratwurzele vu 25 a 16. Kuckt ënnen:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Wann Är Nummer net perfekt ausgerechent ka ginn, vereinfacht se. A Wierklechkeet sinn d'Zuelen, déi Dir de Quadratwurzele bestëmme wëllt, net schéin ofgerënnt Zuelen mat flotte Quadrater wéi 400. An dëse Fäll ass et vläicht net méiglech eng ganz Zuel als Äntwert ze kréien. Amplaz datt Dir all d'Muechtfaktore benotzt, déi Dir fannt, kënnt Dir d'Äntwert als méi kleng, méi einfach benotzbar Quadratwurzel bestëmmen. Dir maacht dëst andeems Dir d'Zuel op eng Kombinatioun vu Kraaftfaktoren an aner Faktoren reduzéiert, an et dann vereinfacht.
   • Mir huelen d'Quadratwurzel vun 147 als Beispill. 147 ass net d'Produkt vun zwee perfekte Quadraten, also kënne mir kee schéine ganz Wäert kréien. Awer et ass d'Produkt vun engem perfekte Quadrat an enger anerer Nummer - 49 an 3. Mir kënnen dës Informatioun benotze fir eis Äntwert an den einfachsten Ausdréck ze schreiwen:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Vereinfachung, wann néideg. Mat der Quadratwurzel an den einfachsten Ausdréck ass et normalerweis zimlech einfach eng graff Schätzung vun der Äntwert ze kréien andeems Dir déi verbleiwen Quadratwurzelen schätzt an se multiplizéiert. Ee Wee fir Är Tipps ze verbesseren ass déi perfekt Quadrater op béide Säite vun der Nummer an Ärer Quadratwurzel ze fannen. Dir wësst datt den Dezimalwert vun der Zuel an Ärer Quadratwurzel iergendwou tëscht dësen zwou Zuelen ass, sou datt Äert Giss och tëscht dësen Zuelen muss sinn.
   • Komme mer zréck op eist Beispill. Zënter 2 = 4 an 1 = 1 wësse mer datt Sqrt (3) tëscht 1 an 2 ass - wahrscheinlech méi no bei 2 wéi 1. Mir schätzen datt 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Wa mir dëst mam Rechner kontrolléieren, da gesi mir datt mir zimlech no bei der Äntwert sinn: 12,13.
     • Dëst funktionnéiert och fir déi méi grouss Zuelen. Zum Beispill, sqrt (35) ass ongeféier tëscht 5 a 6 (wahrscheinlech méi no bei 6). 5 = 25 a 6 = 36,35 ass tëscht 25 a 36, ​​sou datt d'Quadratwurzel tëscht 5 a 6 wäert sinn. Well 35 just ënner 36 ass, kënne mir mat Vertraue soen datt d'Quadratwurzel dovun ass just ass manner wéi 6. Iwwerpréift mat engem Rechner gëtt eis eng Äntwert vu ronn 5,92 - mir hate Recht.
5. Alternativ, als éischte Schrëtt, kënnt Dir d'Nummer op de vereinfachen mannst allgemeng Multiple. Sich no Kraaftfaktoren ass net néideg wann Dir einfach Primfaktore vun enger Zuel fanne kënnt (Faktore déi gläichzäiteg Primzuelen sinn). Schreift d'Zuel a Begrëffer vu mannst üblech Multipelen. Da sicht tëscht Äre Facteure fir passende Puer Primzuelen. Wann Dir zwee Haaptfaktore fënnt, déi matenee passen, huelt se aus der Quadratwurzel a Plaz a vun dësen Zuelen ausserhalb vum Quadratwurzelzeechen.
   • Zum Beispill bestëmmen mir d'Feldwurz vu 45 mat dëser Method. Mir wëssen datt 45 = 9 × 5 an datt 9 = 3 × 3. Also kënne mir de Quadratwurzel esou schreiwen: Sqrt (3 × 3 × 5). Läscht einfach déi 3 a plazéiert en 3 baussent der Quadratwurzel fir eng vereinfacht Quadratwurzel ze kréien: (3) Sqrt (5). Elo kënnt Dir einfach en Devis maachen.
   • E lescht Beispill; mir bestëmmen d'Quadratwurzel vun 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Mir hunn e puer 2 an eiser Quadratwurzel. Zënter 2 ass primär, kënne mir e Paar erofhuelen an en 2 baussent der Wuerzel leeën.
     • = Eis Quadratwurzel an einfachsten Ausdréck ass (2) Sqrt (2 × 11) oder (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Elo kënne mir op Sqrt (2) a Sqrt (11) kommen an eng ongeféier Äntwert fannen, wa mir wëllen.

Methode 2 vun 2: Fannt Quadratwurzelen ouni Rechner

Mat laanger Divisioun

1. Deelt d'Ziffere vun Ärer Zuel a Puer. Dës Method ass ähnlech wéi laang Divisioun, wat Iech erlaabt de genau Quadratwurzel vun enger Zuel Ziffer fir Ziffer. Och wann et net wesentlech ass, eng Zuel a funktionnéierbar Stécker ze briechen kann d'Léisung méi einfach maachen, besonnesch wann et laang ass. Éischt mol eng vertikal Linn déi d'Aarbechtsberäich an 2 Beräicher deelt, dann eng méi kuerz Linn uewen am richtege Beräich, deelt se an e méi klengen Top Deel an e gréisseren Deel ënnen. Deelt dann d'Zuel a Puer Zuelen, ab dem Dezimalpunkt. Ënnert dëser Regel gëtt 79520789182.47897 "7 95 20 78 91 82,47 89 70". Schreift dës Zuel uewen lénks.
   • Als Beispill, loosst eis d'Quadratwurzel vun 780.14 berechnen. Deelt Ären Aarbechtsraum wéi uewen a schreift "7 80, 14" an der ieweschter lénkser Ecke. Et ass okay wann et nëmmen eng Nummer ganz lénks ass, amplaz zwou. Dir schreift d'Äntwert (de Quadratwurzel vun 780.14) uewen am richtege Beräich.
2. Fannt déi gréissten ganz Zuel n deem säi Quadrat manner wéi oder gläich ass mat der lénkser Ziffer oder der Nummer. Fannt de gréisste Quadrat dee manner wéi oder gläich wéi dës Zuel ass, an da fënns de Quadratwurzel vun dësem Quadrat. Dës Zuel ass n. Schreift dat an der uewe rietser Regioun a schreift de Quadrat vun n am ënneschte Quadrant vun deem Gebitt.
   • An eisem Beispill ass déi lénksst Ziffer d'Zuel 7. Well mir wëssen datt 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, kënne mir soen datt n = 2 well dëst déi gréisst ganz Zuel ass wou hire Quadrat manner wéi oder gläich 7 ass. Schreift 2 am ieweschte Recht Quadrant. Dëst ass déi éischt Ziffer vun der Äntwert. Schreift 4 (de Quadrat vun 2) am ënne rietsen Quadrant. Dës Zuel ass wichteg fir de nächste Schrëtt.
3. Huelt d'Zuel of, déi Dir berechent hutt vun der lénkser Ziffer oder der Nummer. Wéi mat enger laanger Divisioun ass de nächste Schrëtt de Quadrat vun der Zuel ze zéien déi mir just fir d'Berechnung benotzt hunn. Schreift dës Zuel ënner déi lénksst Nummer an zitt se of. Schreift d'Äntwert hei drënner.
   • An eisem Beispill schreiwe mir e 4 ënner 7 an zéien en of. Dëst gëtt 3 als Äntwert.
4. Beweegt déi nächst Nummer no ënnen. Plaz dëst niewent dem Wäert deen Dir an der fréierer Ännerung fonnt hutt. Multiplizéiert d'Zuel uewe riets mat zwee a schreift se ënnen riets erof. Loosst Plaz niewent der Nummer déi Dir just fir d'Zomm opgeschriwwen hutt déi Dir am nächste Schrëtt maacht. Schreift hei "_ × _ =" ".
   • An eisem Beispill ass déi nächst Nummer "80". Schreift "80" niewent den 3 am lénksen Quadrant. Dann multiplizéiert d'Zuel uewe riets mat 2. Dës Zuel ass 2, also 2 × 2 = 4. Schreift "" 4 "" ënnen riets, gefollegt vun _×_=.
5. Gitt d'Zuelen op der rietser Säit an. An den eidele Raum vun der Zomm (riets), gitt déi gréisst ganz Zuel, déi d'Resultat vun der Multiplizéierungssomm op der rietser manner wéi oder gläich der aktueller Zuel op der lénkser Säit mécht.
   • An eisem Beispill gi mir 8 an, an dëst gëtt 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Dëst ass méi grouss wéi 380. Also 8 ass ze grouss, awer 7 wahrscheinlech net. Fëllt 7 aus a léist: 4 (7) × 7 = 329. 7 ass gutt well 329 manner wéi 380. Schreift 7 uewe riets. Dëst ass déi zweet Ziffer an der Quadratwurzel vun 780.14.
6. Huelt d'Zuel, déi Dir just aus der aktueller Zuel op der lénkser Säit berechent hutt, of. Also subtrahéiert Dir d'Resultat vun der Multiplikatioun op der rietser Säit vun der aktueller Äntwert lénks. Schreift Är Äntwert direkt drënner.
   • An eisem Beispill subtrahéiere mir 329 vun 380, an dëst gëtt 51 als Resultat.
7. Widderhuelen Schrëtt 4. Beweegt de nächste Pair vun Zuelen erof vu 780.14. Wann Dir bei e Komma kommt, da schreift dee Komma an d'Äntwert riets. Da multiplizéieren déi uewe riets Nummer mat 2 a schreift d'Äntwert niewent ("_ × _") wéi uewen.
   • An eiser Äntwert schreiwe mir elo e Komma well mir och dëst am 780.14 begéinen. Beweegt de nächste Paar (14) am lénksen Quadrant. 27 x 2 = 54, also schreiwe mir "54 _ × _ =" am ënne riets Quadrant.
8. Widderhuelen Schrëtt 5 a 6. Fannt déi gréisst Zuel déi eng Äntwert gëtt déi manner wéi oder gläich der aktueller Zuel lénks ass. Léisen.
   • An eisem Beispill, 549 × 9 = 4941, dat ass manner wéi oder gläich wéi d'Zuel lénks (5114). 549 × 10 = 5490, wat ze héich ass, also 9 ass eis Äntwert. Schreift 9 als nächst uewe riets Zuel an zitt d'Resultat vun der Multiplikatioun vun der lénkser Nummer of: 5114 -4941 = 173.
9. Fir d'Resultat richteg ze maachen, widderhuelt déi viregt Prozedur bis Dir d'Äntwert mat der Unzuel vun Dezimalzuelen (Honnertstel, Dausendstel) fannt Dir braucht.

D'Prozedur verstoen

1. Betruecht d'Zuel, där hir Quadratwurzel Dir als Area S vun engem Quadrat ausrechent. Well d'Gebitt vun engem Quadrat L ass, wou L d'Längt vun enger vu senge Säiten ass, also andeems Dir d'Quadratwurzel vun Ärer Zuel fannt, probéiert d'Längt L vun der Säit vun deem Quadrat auszerechnen.
2. Gitt all Ziffer vun Ärer Äntwert e Bréif. Gitt d'Variabel A als éischt Ziffer vu L (déi Quadratwurzel déi mir probéieren auszerechnen). B ass déi zweet Ziffer, C déi drëtt, asw.
3. Gitt e Bréif un all "Puer Zuelen" vun der Nummer mat där Dir ufänkt. Gitt d'Variabel S_a op dat éischt Zifferpaar am S (Ufankswäert), S._b op dat zweet Paar Zifferen, asw.
4. Verstinn d'Relatioun tëscht dëser Method a laanger Divisioun. Dës Method fir e Quadratwurzel ze fannen ass wesentlech eng laang Divisioun, wou Dir den Ufankswäert duerch seng Quadratwurzel deelt an de Quadratwurzel als Äntwert "gitt". Wéi mat enger laanger Divisioun, wou Dir nëmmen un der nächster Ziffer gläichzäiteg interesséiert sidd, sidd Dir nëmmen un den nächsten zwou Ziffere gläichzäiteg interesséiert (déi entspriechen der nächster Ziffer vun der Quadratwurzel).
5. Fannt déi gréisst Zuel mat där hire Quadrat manner wéi oder gläich ass wéi S._a ass. Déi éischt Ziffer A an eiser Äntwert ass dann déi gréisst ganz Zuel mat hirem Quadrat net méi grouss wéi S._a (A sou datt A² ≤ Sa (A + 1) ²). An eisem Beispill, S._a = 7, an 2² ≤ 7 3², also A = 2.
   • Bedenkt datt wann Dir 88962 mat 7 deelt mat enger laanger Divisioun, ass den éischte Schrëtt gläich: Dir behandelt als éischt mat der éischter Ziffer vun 88962 (8) an Dir wëllt déi gréisst Ziffer multiplizéiert mat 7, déi manner wéi oder gläich wéi 8. Weesentlech bestëmmen d sou datt 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). An dësem Fall ass d gläich wéi 1.
6. Visualiséier de Quadrat vun deem Dir d'Gebitt wëllt fannen. Är Äntwert, d'Quadratwurzel vum Ufankswäert, ass L, déi d'Längt vun engem Quadrat mat der Fläch S (den Ufankswäert) beschreift. D'Wäerter fir A, B an C representéieren d'Zifferen am Wäert L. Eng aner Manéier fir dëst ze soen ass datt fir eng 2-Zifferen Äntwert, 10A + B = L, a fir eng 3-Zifferen Äntwert, 100A + 10B + C = L, a sou weider.
   • An eisem Beispill (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Denkt drun datt 10A + B eis Äntwert L duerstellt zesumme mat B an der Eenheet Positioun, an A an der Zéng Positioun. Zum Beispill, wann A = 1 a B = 2, da sinn 10A + B d'Nummer 12. (10A + B) ² ass d'Gebitt vun der ganzer Quadrat, wärend 100A² ass d'Gebitt vun der gréisster banneschter Quadrat, B² ass d'Géigend vum klengste Quadrat an 10A × B ass d'Gebitt vun all de verbleibende Rechtecke. Duerch dës laang, komplizéiert Prozedur kënne mir d'Géigend vum ganze Quadrat fannen andeems mir d'Gebidder vun de Quadraten a Rechtecker bäifügen, déi Deel dovun sinn.
7. A² vum S. ofzéien_a. Bréngt e puer Zuelen mat (S._b) erof vun der Nummer S. S._a S._b ass bal d'Gesamtfläch vum Quadrat, vun deem Dir just d'Géigend vun der gréisster banneschter Quadrat ofgezunn hutt. De Rescht ass, seet d'Nummer N1, déi mir am Schrëtt 4 kritt hunn (N1 = 380 an eisem Beispill). N1 entsprécht 2 × 10A × B + B² (de Beräich vun den 2 Rechtecker plus der Fläch vum klenge Quadrat).
8. Kuckt N1 = 2 × 10A × B + B², och geschriwwen als N1 = (2 × 10A + B) × B. An eisem Beispill wësst Dir schonn d'N1 (380) an A (2), also elo musst Dir B fannen. B ass wahrscheinlech net eng ganz Zuel, also musst Dir eigentlech fënnt déi gréisst ganz B, sou datt (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Also elo hutt Dir: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Léist d'Equatioun. Fir dës Gleichung ze léisen, multiplizéiert A mat 2, verréckelt se op déi zéng (multiplizéiert mat 10), setzt B an d'Eenheeten a multiplizéiert d'Resultat mat B. An anere Wierder, (2 × 10A + B) × B. Dëst ass genau wat Dir maacht wann Dir "N_ × _ =" (mat N = 2 × A) am ënneschte rietse Quadrant am Schrëtt 4. A Schrëtt 5 bestëmmt Dir déi gréisst ganz B déi ënner der Linn passt, also (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Huelt d'Gebitt (2 × 10A + B) × B vun der Gesamtfläch of. Dëst gëtt de Beräich S- (10A + B) ² deen Dir nach net berécksiichtegt hutt (an déi Dir benotzt fir folgend Zuelen d'selwecht ze berechnen).
11. Fir déi nächst Ziffer C ze berechnen, widderhuelen d'Prozedur. Beweegt de nächste Pair vun Zuelen vun S erof (S_c) fir N2 no lénks ze kréien, a sicht de gréissten C sou datt Dir elo hutt: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (gläich zweemol déi zweestelleg Zuel "AB" gefollegt vun "_ × _ =" Bestëmmt elo déi gréisst Zuel, déi Dir hei aginn, déi Iech eng Äntwert gëtt, déi manner wéi oder gläich N2 ass.

Tipps

• De Komma ëm zwou Plazen ze bewegen (e Faktor vun 100) beweegt de Komma an der entspriechender Quadratwurzel ëm eng Plaz (e Faktor vun 10).
• Am Beispill kéint 1.73 als "Rescht" ugesi ginn: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Dës Method funktionnéiert fir all Zuelen System, net nëmmen de Dezimal (Dezimal) System.
• Fillt sech fräi fir d'Berechnungen ze placéieren wou Dir wëllt. E puer Leit schreiwe se iwwer der Zuel déi se wëllen d'Feldwuerzel vun ausrechnen.
• Eng alternativ Method ass déi folgend: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Zum Beispill, fir d'Quadratwurzel vu 780.14 auszerechnen, huelt d'ganz Zuelen, där hire Quadrat am nootste bei 780.14 (28) ass, also = 780.14, x = 28, an y = -3.86. Ausfëllen a schätzen gëtt eis x + y / (2x) an dëst gëtt (vereinfacht Begrëffer) 78207/2800 oder ongeféier 27.931 (1); de folgende Begrëff, 4374188/156607 oder ongeféier 27.930986 (5). All Begrëff füügt ongeféier 3 Dezimalplaze vu Präzisioun zu der viregter bäi.

Warnungen

• Gitt sécher datt Dir d'Zuel a Puer vum Dezimalpunkt deelt. Deelen 79520789182.47897 als "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "gëtt e falscht Resultat.