Inhalt

• Schrëtt
• Deel 1 vun 3: Transpose the Matrix
• Deel 2 vun 3: Transpositiounseigenschaften
• Deel 3 vun 3: Hermitesch konjugéiert Matrix mat komplexe Elementer
• Tipps

Wann Dir léiert wéi Dir Matrixen transposéiert, hutt Dir e bessert Verständnis vun hirer Struktur. Dir wësst vläicht scho vu Quadratmatricen an hirer Symmetrie fir Iech ze hëllefen d'Transpositioun ze beherrschen. Ënner anerem hëlleft d'Transpositioun Vektoren a Matrixform ze transforméieren a Vektorprodukter ze fannen. Wann Dir mat komplexe Matrix schafft, kënnen Hermitian-Konjugat (Konjugat-Transposéieren) Matricen Iech hëllefen eng Vielfalt vu Probleemer ze léisen.

Schrëtt

Deel 1 vun 3: Transpose the Matrix

1. 1 Huelt all Matrix. All Matrix kann transponéiert ginn, onofhängeg vun der Unzuel vun de Reien a Kolonnen. Déi meescht dacks ass et noutwendeg fir quadratesch Matricen ze transponéieren déi déiselwecht Unzuel vu Reien a Sailen hunn, also fir Einfachheet, betruecht déi folgend Matrix als Beispill:
   • der Matrix A. =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Stellt Iech vir déi éischt Zeil vun enger direkter Matrix als déi éischt Kolonn vun der transposéierter Matrix. Schreift just déi éischt Zeil als Kolonn:
   • ëmgesat Matrix = A.
   • éischt Kolonn vun der Matrix A:
     1
     2
     3
3. 3 Maacht datselwecht fir de Rescht vun de Linnen. Déi zweet Zeil vun der ursprénglecher Matrix gëtt déi zweet Kolonn vun der transposéierter Matrix. Iwwersetzt all Reihen a Kolonnen:
   • A. =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Probéiert eng net-quadratesch Matrix ëmzesetzen. All rechteckeg Matrix kann op déiselwecht Manéier transponéiert ginn. Schreift just déi éischt Zeil als déi éischt Kolonn, déi zweet Zeil wéi déi zweet Kolonn, asw. Am Beispill hei drënner gëtt all Zeil vun der ursprénglecher Matrix mat senger eegener Faarf markéiert fir et méi kloer ze maachen wéi se transforméiert gëtt wann se transponéiert ginn:
   • der Matrix Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • der Matrix Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Loosst eis d'Transpositioun a Form vun enger mathematescher Notatioun ausdrécken. Och wann d'Iddi vun der Transpositioun ganz einfach ass, ass et am beschten et als eng strikt Formel opzehuelen. Matrix Notatioun erfuerdert keng speziell Begrëffer:
   • Stellt Iech eng Matrix B vir, déi aus m x n Elementer (m Reien an n Kolonnen), dann ass déi transponéiert Matrix B e Set vu n x m Elementer (n Reihen a m Kolonnen).
   • Fir all Element b_xy (Linn x a Kolonn y) vun der Matrix B an der Matrix B existéiert en äquivalent Element b_yx (Linn y a Kolonn x).

Deel 2 vun 3: Transpositiounseigenschaften

1. 1 (M. = M. No duebel Transpositioun gëtt déi originell Matrix kritt. Dëst ass zimmlech offensichtlech, well wann Dir nei transposéiert, ännert Dir d'Reien a Kolonnen erëm, wat zu der ursprénglecher Matrix resultéiert.
2. 2 Spigelt d'Matrix ronderëm den Haaptdiagonal. Quadratmatricen kënne relativ zum Haaptdiagonal "gekippt" ginn. Ausserdeem sinn d'Elementer laanscht d'Haaptdiagonal (vun engem₁₁ bis ënnen riets am Eck vun der Matrix) bleiwen op der Plaz, an de Rescht vun den Elementer beweegen sech op déi aner Säit vun dëser Diagonal a bleiwen op der selwechter Distanz dovun.
   • Wann Dir et schwéier fannt dës Method virzestellen, huelt e Stéck Pabeier an zitt eng 4x4 Matrix. Dann nei arrangéieren seng Säitelementer relativ zum Haaptdiagonal. Zur selwechter Zäit verfollegen d'Elementer a₁₄ an a₄₁... Wann se transponéiert sinn, musse se ausgetosch ginn wéi aner Pairen vu Säitelementer.
3. 3 Transforméiert déi symmetresch Matrix. D'Elementer vun esou enger Matrix si symmetresch iwwer d'Haaptdiagonal. Wann Dir déi uewe genannte Operatioun maacht an déi symmetresch Matrix "flippt", ännert se sech net. All Elementer ännere sech op ähnlech. Tatsächlech ass dëst de Standard Wee fir ze bestëmmen ob eng bestëmmte Matrix symmetresch ass. Wann d'Gläichheet A = A hält, dann ass d'Matrix A symmetresch.

Deel 3 vun 3: Hermitesch konjugéiert Matrix mat komplexe Elementer

1. 1 Betruecht eng komplex Matrix. D'Elementer vun enger komplexer Matrix besteet aus reellen a imaginären Deeler. Sou eng Matrix kann och transponéiert ginn, och wann an de meeschte prakteschen Uwendungen konjugéiert-transponéiert oder Hermitesch-konjugéiert Matrix benotzt ginn.
   • Loosst et eng Matrix C = ginn
     2+ech     3-2ech
     0+ech     5+0ech
2. 2 Ersetzen d'Elementer mat komplexe konjugéierten Zuelen. An der Operatioun vu komplexer Konjugatioun bleift de richtegen Deel d'selwecht, an den imaginären Deel ännert säin Zeechen zum Géigendeel. Loosst eis dëst mat alle véier Elementer vun der Matrix maachen.
   • Fannt déi komplex konjugéiert Matrix C * =
     2-ech     3+2ech
     0-ech     5-0ech
3. 3 Mir transponéieren déi resultéierend Matrix. Huelt déi fonnt komplex konjugéiert Matrix an transponéiert se einfach. Als Resultat kréien mir eng konjugéiert-transponéiert (Hermitian-konjugéiert) Matrix.
   • déi konjugéiert-transponéiert Matrix C =
     2-ech        0-ech
     3+2ech     5-0ech

Tipps

• An dësem Artikel gëtt déi transponéiert Matrix relativ zu der Matrix A als A. bezeechent. Et gëtt och d'Notatioun A 'oder Ã.
• An dësem Artikel gëtt d'Hermitianesch-konjugéiert Matrix mat Bezuch op d'Matrix A als A bezeechent, wat eng allgemeng Notatioun an der linearer Algebra ass. An der Quantenmechanik gëtt d'Notatioun A dacks benotzt.Heiansdo gëtt eng hermitesch konjugéiert Matrix a Form A *geschriwwen, awer et ass besser dës Notatioun ze vermeiden, well se och benotzt gëtt fir eng komplex konjugéiert Matrix ze schreiwen.