Inhalt

• Virleefeg Informatiounen
• Schrëtt
• Deel 1 vun 3: D'Basics
• Deel 2 vun 3: Eegeschafte vum Laplace Transform
• Deel 3 vun 3: Fannt d'Laplace Transform duerch Serie Expansioun

De Laplace Transform ass en integralen Transform dee benotzt gëtt fir Differentialequatiounen mat konstante Koeffizienten ze léisen. Dës Transformatioun gëtt wäit an der Physik an am Ingenieur benotzt.

Och wann Dir déi entspriechend Dëscher benotze kënnt, ass et hëllefräich de Laplace Transform ze verstoen sou datt Dir et selwer maache kënnt wann néideg.

Virleefeg Informatiounen

• Gitt eng Funktioun ${ Displaystyle f (t)}$definéiert fir ${ Displaystyle t geq 0.}$ Dann Laplace transforméieren Funktioun ${ Displaystyle f (t)}$ ass déi nächst Funktioun vun all Wäert ${ displaystyle s}$, bei deem den Integral konvergéiert:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• De Laplace Transform hëlt eng Funktioun vun der t-Regioun (Zäitskala) an der s-Regioun (Transformatiounsregioun), wou ${ displaystyle F (en)}$ ass eng komplex Funktioun vun enger komplexer Variabel. Et erlaabt Iech d'Funktioun an e Gebitt ze plënneren wou eng Léisung méi einfach fonnt ka ginn.
• Natierlech ass de Laplace Transform e linearen Bedreiwer, also wa mir mat enger Zomm vu Begrëffer ze dinn hunn, kann all Integral separat berechent ginn.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Denkt drun datt de Laplace Transform nëmme funktionnéiert wann den Integral konvergéiert. Wann d'Funktioun ${ Displaystyle f (t)}$ huet Diskontinuitéiten, ass et noutwendeg virsiichteg ze sinn a richteg d'Grenze vun der Integratioun festzeleeën fir Onsécherheet ze vermeiden.

Schrëtt

Deel 1 vun 3: D'Basics

1. 1 Ersetzt d'Funktioun an d'Laplace Transformel Formel. Theoretesch ass de Laplace Transform vun enger Funktioun ganz einfach ze berechnen. Als Beispill, betruecht d'Funktioun ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, wou ${ displaystyle a}$ ass eng komplex konstant mat ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Schätzt den Integral mat de verfügbare Methoden. An eisem Beispill ass d'Schätzung ganz einfach an Dir kënnt mat einfachen Berechnunge laanschtgoen. A méi komplexe Fäll kënne méi komplex Methode gebraucht ginn, zum Beispill Integratioun duerch Deeler oder Differenzéierung ënner dem Integralzeechen. Contraint Zoustand ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ heescht datt den Integral konvergéiert, dat heescht säi Wäert tendéiert op 0 als ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {ausgericht} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {ausgeriicht}}}$
   • Notéiert datt dëst eis zwou Aarte vu Laplace Transform gëtt, mat Sinus a Kosinus, well no der Euler Formel ${ Displaystyle e ^ {iat}}$... An dësem Fall kréien mir am Nenner ${ displaystyle s-ia,}$ an et bleift just fir déi richteg a imaginär Deeler ze bestëmmen. Dir kënnt d'Resultat och direkt bewäerten, awer dat géif e bësse méi laang daueren.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Betruecht de Laplace Transform vun enger Kraaftfunktioun. Als éischt musst Dir d'Transformatioun vun der Kraaftfunktioun definéieren, well d'Linearitéitseigenschaft erlaabt Iech d'Transformatioun ze fannen fir vun allen Polynomen. Eng Funktioun vun der Form ${ Displaystyle t ^ {n},}$ wou ${ Displaystyle n}$ - all positiv Ganzt. Kann Stéck fir Stéck integréiert ginn fir eng rekursiv Regel ze definéieren.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Dëst Resultat gëtt implizit ausgedréckt, awer wann Dir e puer Wäerter ersetzt ${ Displaystyle n,}$ Dir kënnt e bestëmmt Muster etabléieren (probéiert et selwer ze maachen), wat Iech erlaabt dat folgend Resultat ze kréien:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}}$
   • Dir kënnt och de Laplace Transform vu Fraktiounskräften definéieren mat der Gamma Funktioun. Zum Beispill, op dës Manéier fannt Dir d'Transformatioun vun enger Funktioun wéi ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}}$
   • Och wann d'Funktioune mat fraktionnellen Kräfte mussen ofgeschnidden hunn (erënnere mech un all komplex Zuelen ${ Displaystyle z}$ an ${ Displaystyle alpha}$ kann geschriwwe ginn als ${ Displaystyle z ^ { alpha}}$, well den ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), si kënnen ëmmer sou definéiert ginn datt d'Schnëtt am lénksen Hallefplang leien, an domat Problemer mat der Analyse vermeiden.

Deel 2 vun 3: Eegeschafte vum Laplace Transform

1. 1 Loosst eis de Laplace Transform vun der Funktioun multiplizéieren mat eat{ displaystyle e ^ {at}}. D'Resultater, déi an der viregter Sektioun kritt goufen, hunn eis erlaabt e puer interessant Eegeschafte vum Laplace Transform erauszefannen. De Laplace Transform vu Funktiounen wéi Kosinus, Sinus, an exponentiell Funktioun schéngt méi einfach ze sinn wéi d'Muechtfunktioun Transform. Multiplikatioun vun ${ displaystyle e ^ {at}}$ an der t-Regioun entsprécht Schicht an der s-Regioun:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Dës Immobilie erlaabt Iech direkt d'Transformatioun vu Funktiounen ze fannen wéi ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, ouni d'Integral ze berechnen:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Loosst eis de Laplace Transform vun der Funktioun multiplizéieren mat tn{ displaystyle t ^ {n}}. Als éischt, betruecht d'Multiplikatioun mat ${ Displaystyle t}$... Par Definitioun kann een eng Funktioun ënner engem Integral differenzéieren an en iwwerraschend einfacht Resultat kréien:
   • ${ displaystyle { begin {ausgericht} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partiell} { partiell s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
   • Widderhuelen dës Operatioun, mir kréien dat lescht Resultat:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Och wann d'Orrangement vun den Opérateuren vun der Integratioun an der Differenzéierung eng zousätzlech Rechtfertigung erfuerdert, wäerte mir et net hei presentéieren, awer nëmmen notéieren datt dës Operatioun richteg ass wann dat lescht Resultat Sënn mécht. Dir kënnt och d'Tatsaach berücksichtegen datt d'Variabelen ${ displaystyle s}$ an ${ Displaystyle t}$ hänkt net vuneneen of.
   • Mat dëser Regel ass et einfach d'Transformatioun vu Funktiounen ze fannen wéi ${ Displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, ouni nei Integratioun vun Deeler:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Fannt de Laplace Transform vun der Funktioun f(at){ displaystyle f (at)}. Dëst kann einfach gemaach ginn andeems d'Variabel mat u ersat gëtt mat der Definitioun vun engem Transform:
   • ${ displaystyle { begin {ausgericht} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F lénks ({ frac {s} {a}} right) end {ausgericht}}}$
   • Uewen hu mir de Laplace Transform vu Funktiounen fonnt ${ Displaystyle sin at}$ an ${ Displaystyle cos at}$ direkt vun der exponentieller Funktioun. Mat dëser Immobilie kënnt Dir datselwecht Resultat kréien wann Dir déi richteg an imaginär Deeler fannt ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Fannt d'Laplace Transform vum Derivat f′(t){ Displaystyle f ^ { prime} (t)}. Am Géigesaz zu de viregte Beispiller, an dësem Fall mussen integréiert Stéck fir Stéck:
   • ${ displaystyle { begin {ausgericht} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {alignéiert}}}$
   • Well déi zweet Derivat a ville kierperleche Probleemer optrieden, fanne mir d'Laplace Transform och dofir:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Am allgemengen Fall ass de Laplace Transform vun der nth Uerdnung Derivat definéiert wéi follegt (dëst erlaabt d'Differentialequatiounen ze léisen mat der Laplace Transform):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Deel 3 vun 3: Fannt d'Laplace Transform duerch Serie Expansioun

1. 1 Loosst eis de Laplace Transform fir eng periodesch Funktioun fannen. Déi periodesch Funktioun entsprécht der Bedingung ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ wou ${ displaystyle T}$ ass d'Period vun der Funktioun, an ${ Displaystyle n}$ ass e positivt Ganzt. Periodesch Funktiounen gi wäit a ville Uwendungen benotzt, inklusiv Signalveraarbechtung an Elektrotechnik. Mat einfachen Transformatiounen kréien mir dat folgend Resultat:
   • ${ displaystyle { begin {ausgericht} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { ausgeriicht}}}$
   • Wéi Dir kënnt gesinn, am Fall vun enger periodescher Funktioun, ass et genuch fir de Laplace Transform fir eng Period auszeféieren.
2. 2 Maacht de Laplace Transform fir den natierleche Logarithmus. An dësem Fall kann den Integral net a Form vun elementarer Funktiounen ausgedréckt ginn. D'Benotzung vun der Gammafunktioun a senger Serie Expansioun erlaabt Iech den natierleche Logarithmus a seng Grad ze schätzen. D'Präsenz vun der Euler-Mascheroni Konstante ${ Displaystyle gamma}$ weist datt fir dësen Integral ze schätzen, et noutwendeg ass eng Serie Expansioun ze benotzen.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Betruecht de Laplace Transform vun der onnormaliséierter Sinc Funktioun. Funktioun ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ wäit benotzt fir Signalveraarbechtung, an Differenzialgläichungen ass et gläichwäerteg mat der kugelfërmeger Bessel Funktioun vun der éischter Aart an Null Uerdnung ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ De Laplace Transform vun dëser Funktioun kann och net mat Standardmethoden berechent ginn. An dësem Fall gëtt d'Transformatioun vun eenzelne Membere vun der Serie, déi Kraaftfunktiounen sinn, duerchgefouert, sou datt hir Transformatiounen onbedéngt op e bestëmmten Intervall konvergéieren.
   • Als éischt schreiwen mir d'Expansioun vun der Funktioun an enger Taylor Serie:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}}$
   • Elo benotze mir de scho bekannte Laplace Transform vun enger Kraaftfunktioun. D'Factorials ginn annuléiert, an als Resultat kréie mir d'Taylor Expansioun fir den Arctangent, dat heescht eng ofwiesselnd Serie déi un d'Taylor Serie gläicht fir de Sinus, awer ouni Factorials:
     • ${ displaystyle { begin {ausgericht} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {ausgericht}}}$