Inhalt

• Schrëtt
• Method 1 vu 4: Monomial am Nenner
• Method 2 vu 4: Binomial am Nenner
• Method 3 vun 4: Reverse Expression
• Method 4 vun 4: Kubik Root Nenner

An der Mathematik ass et net üblech eng Root oder eng irrational Zuel am Nenner vun enger Fraktioun ze loossen. Wann den Nenner eng Wuerzel ass, multiplizéiert d'Fraktioun mat engem Begrëff oder Ausdrock fir vun der Wuerzel lass ze ginn. Modern Rechner erlaben Iech mat Wuerzelen am Nenner ze schaffen, awer den Erzéiungsprogramm erfuerdert datt d'Schüler fäeg sinn vun der Irrationalitéit am Nenner lass ze ginn.

Schrëtt

Method 1 vu 4: Monomial am Nenner

1. 1 Léiert d'Fraktioun. D'Fraktioun ass richteg geschriwwen wann et keng Root am Nenner gëtt. Wann den Nenner e Quadrat oder eng aner Root huet, musst Dir den Teller an den Nenner multiplizéieren mat engem Monomial fir vun der Wuerzel lass ze ginn. Notéiert w.e.g. datt den Teller eng Root kann enthalen - dëst ass normal.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}}} {2 { sqrt {7}}}}}}$
   • Den Nenner hei huet eng Root ${ displaystyle { sqrt {7}}}$.
2. 2 Multiplizéiert den Teller an den Nenner mat der Wuerzel vum Nenner. Wann den Nenner e Monomial enthält, ass et ganz einfach sou eng Fraktioun ze rationaliséieren. Multiplizéiert den Teller an den Nenner mam selwechte Monomial (dat heescht, Dir multiplizéiert d'Fraktioun mat 1).
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}}}}$
   • Wann Dir en Ausdrock fir eng Léisung op engem Rechner gitt, gitt sécher Klammeren ronderëm all Deel ze setzen fir se ze trennen.
3. 3 Einfach d'Fraktioun (wa méiglech). An eisem Beispill kann et verkierzt ginn andeems de Teller an den Nenner duerch 7 deelt ginn.
   • ${ displaystyle { frac {7 { sqrt {3}}} {2 { sqrt {7}}}} cdot { frac { sqrt {7}} { sqrt {7}}} = { frac {7 { sqrt {21}}} {14}} = { frac { sqrt {21}} {2}}}$

Method 2 vu 4: Binomial am Nenner

1. 1 Léiert d'Fraktioun. Wann säin Nenner d'Zomm oder den Ënnerscheed vun zwee Monomien enthält, vun deenen der eng eng Root enthält, ass et onméiglech d'Fraktioun mat sou engem Binomial ze multiplizéieren fir vun der Irrationalitéit lass ze ginn.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}}}}$
   • Fir dëst ze verstoen, schreift d'Fraktioun op ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$wou de Monomial ${ displaystyle a}$ oder ${ displaystyle b}$ enthält d'Wurzel. An dësem Fall: ${ displaystyle (a + b) (a + b) = a ^ {2} + 2ab + b ^ {2}}$... Also, de Monomial ${ displaystyle 2ab}$ wäert nach ëmmer d'Wurzel enthalen (wann ${ displaystyle a}$ oder ${ displaystyle b}$ enthält d'Wurzel).
   • Loosst eis e Beispill kucken.
     • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {2}}} {2 + { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2 + { sqrt {2}})} {4 + 4 { sqrt {2}} + 2}}}$
   • Dir gesitt datt Dir net vum Monomial am Nenner lass kënnt ${ displaystyle 4 { sqrt {2}}}$.
2. 2 Multiplizéiert den Teller an den Nenner mam Binomialkonjugat vum Binomial am Nenner. E konjugéierten Binomial ass e Binomial mat der selwechter Monomial, awer mat dem Géigendeel Zeechen tëscht hinnen. Zum Beispill, Binom ${ displaystyle 2 + { sqrt {2}}}$ konjugéiert zu engem Binomial ${ displaystyle 2 - { sqrt {2}}.}$
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}}}}$
   • Verstitt d'Bedeitung vun dëser Method. Betruecht d'Fraktioun nach eng Kéier ${ displaystyle { frac {1} {a + b}}}$... Multiplizéiert den Teller an den Nenner mam Binomialkonjugat zum Binomial am Nenner: ${ displaystyle (a + b) (a -b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$... Also ginn et keng Monomien déi Wuerzelen enthalen. Zënter de Monomien ${ displaystyle a}$ an ${ displaystyle b}$ am Quadrat sinn, ginn d'Wurzelen eliminéiert.
3. 3 Einfach d'Fraktioun (wa méiglech). Wann et e gemeinsame Faktor ass souwuel am Zähler wéi am Nenner, annuléiert en. An eisem Fall, 4 - 2 = 2, wat benotzt ka ginn fir d'Fraktioun ze reduzéieren.
   • ${ displaystyle { frac {4} {2 + { sqrt {2}}}} cdot { frac {2 - { sqrt {2}}} {2 - { sqrt {2}}}}} = { frac {4 (2-{ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 { sqrt {2}}}$

Method 3 vun 4: Reverse Expression

1. 1 Ënnersicht de Problem. Wann Dir en Ausdrock brauch ze fannen deen den Invers vun der gegebener ass, déi eng Root enthält, musst Dir déi resultéierend Fraktioun rationaliséieren (an nëmmen dann vereinfachen). An dësem Fall benotzt d'Method, déi an den éischten oder zweeten Sektiounen beschriwwe gëtt (ofhängeg vun der Aufgab).
   • ${ displaystyle 2 - { sqrt {3}}}$
2. 2 Schreift de Géigendeel Ausdrock op. Fir dëst ze maachen, deelt 1 mam gegebenen Ausdrock; wann eng Fraktioun gëtt, tauscht den Teller an den Nenner aus. Denkt drun datt all Ausdrock eng Fraktioun mat 1 am Nenner ass.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}}}}$
3. 3 Multiplizéiert den Teller an den Nenner mat engem Ausdrock fir vun der Wuerzel lass ze ginn. Andeems Dir den Teller an den Nenner mam selwechten Ausdrock multiplizéiert, multiplizéiert Dir d'Fraktioun mat 1, dat heescht de Wäert vun der Fraktioun ännert sech net. An eisem Beispill gi mir e Binomial, also multiplizéiert den Teller an den Nenner mam konjugéierten Binomial.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}}}$
4. 4 Einfach d'Fraktioun (wa méiglech). An eisem Beispill, 4 - 3 = 1, sou datt den Ausdrock am Nenner vun der Fraktioun komplett annuléiert ka ginn.
   • ${ displaystyle { frac {1} {2 - { sqrt {3}}}} cdot { frac {2 + { sqrt {3}}} {2 + { sqrt {3}}}}}} = { frac {2 + { sqrt {3}}} {4-3}} = 2 + { sqrt {3}}}$
   • D'Äntwert ass e Binomial Konjugat zu dësem Binomial. Et ass just en Zoufall.

Method 4 vun 4: Kubik Root Nenner

1. 1 Léiert d'Fraktioun. De Problem ka Kubewurzelen enthalen, och wann dëst zimmlech rar ass. Déi beschriwwen Method ass uwendbar fir Wuerzelen vun all Grad.
   • ${ displaystyle { frac {3} { sqrt [{3}] {3}}}}$
2. 2 Schreift d'Wurzel als Kraaft. Hei kënnt Dir den Teller an den Nenner net mat engem Monomial oder Ausdrock multiplizéieren, well d'Rationaliséierung op eng liicht anescht Manéier duerchgefouert gëtt.
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}}}}$
3. 3 Multiplizéiert den Teller an den Nenner vun der Fraktioun mat enger Kraaft sou datt den Exponent am Nenner 1 gëtt. An eisem Beispill, multiplizéiert d'Fraktioun mat ${ displaystyle { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}}$... Denkt drun datt wann d'Graden multiplizéiert ginn, hir Indikatoren derbäi sinn: ${ displaystyle a ^ {b} a ^ {c} = a ^ {b + c}.}$
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}}}}$
   • Dës Method ass uwendbar fir all Wuerzelen vum Grad n. Wann eng Fraktioun gëtt ${ displaystyle { frac {1} {a ^ {1 / n}}}}$, multiplizéiert den Teller an den Nenner mat ${ displaystyle a ^ {1 - { frac {1} {n}}}}$... Also gëtt den Exponent am Nenner 1.
4. 4 Einfach d'Fraktioun (wa méiglech).
   • ${ displaystyle { frac {3} {3 ^ {1/3}}} cdot { frac {3 ^ {2/3}} {3 ^ {2/3}}} = 3 ^ {2/3 }}$
   • Wann néideg, schreift d'Wurzel an d'Äntwert. An eisem Beispill faktoréiert den Exponent an zwee Faktoren: ${ Displaystyle 1/3}$ an ${ displaystyle 2}$.
     • ${ displaystyle 3 ^ {2/3} = (3 ^ {2}) ^ {1/3} = { sqrt [{3}] {9}}}$