Inhalt

• Ze trëppelen

Eng trigonometresch Gläichung ass eng Gleichung mat enger oder méi trigonometresche Funktioune vun der verännerlecher trigonometrescher Kéier x. Léisung fir x bedeit d'Wäerter vun den trigonometresche Kéieren ze fannen, deenen hir trigonometresch Funktiounen d'Trigonometresch Gleichung bewierken.

• Äntwerten, oder Wäerter, vun de Léisungskurven ginn a Grad oder Radianen ausgedréckt. Beispiller:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 Grad; x = 37,12 Grad; x = 178,37 Grad

• Bemierkung: Am Eenheetskrees sinn déi trigonometresch Funktioune vun all Kéier gläich wéi déi trigonometresch Funktioune vum korrespondéierte Wénkel. Den Eenheetskrees definéiert all trigonometresch Funktioune vun der verännerlecher Curve x. Et gëtt och als Beweis benotzt fir Basis trigonometresch Gläichungen an Ongläichheeten ze léisen.
• Beispiller vun trigonometresche Gleichungen:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + Kot x = 1.732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Der Eenheet Krees.
   • Dëst ass e Krees mat Radius = 1, wou O den Urspronk ass. Den Eenheetskrees definéiert 4 Haapttrigonometresch Funktioune vun der verännerlecher Kéier x, déi ëmdréint.
   • Wann d'Kurve mam Wäert x variéiert am Eenheetskrees, da hält:
   • Déi horizontal Achs OAx definéiert déi trigonometresch Funktioun f (x) = cos x.
   • Déi vertikal Achs OBy definéiert déi trigonometresch Funktioun f (x) = sin x.
   • Déi vertikal Achs AT definéiert déi trigonometresch Funktioun f (x) = tan x.
   • Déi horizontal Achs BU definéiert déi trigonometresch Funktioun f (x) = Koteng x.

• Den Eenheetskrees gëtt och benotzt fir Basis trigonometresch Equatiounen a Standard trigonometresch Ongläichheeten ze léisen andeems se déi verschidde Positioune vun der Kéier x am Krees berécksiichtegen.

Ze trëppelen

1. D'Léisungsmethod verstoen.
   • Fir eng trigonometresch Equatioun ze léisen konvertéiert Dir se an eng oder méi Basis trigonometresch Equatiounen. Trigonometresch Gläichungen ze léisen resultéiert schlussendlech zu der Léisung vu 4 Basis-trigonometresche Gläichungen.
2. Wësse wéi d'Basis trigonometresch Gläichungen geléist ginn.
   • Et gi 4 Basis trigonometresch Equatiounen:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; Koteng x = a
   • Dir kënnt d'Basis trigonometresch Gläichungen léisen andeems Dir déi verschidde Positioune vun der Kurve x am trigonometresche Krees studéiert a mat enger trigonometrescher Konversiounstabelle (oder Rechner). Fir voll ze verstoen, wéi dës an ähnlech Basis trigonometresch Equatioune geléist ginn, liest de folgende Buch: "Trigonometry: Solving Trigonometric Equations and inequalities" (Amazon E-book 2010)
   • Beispill 1. Léisen fir sin x = 0,866. D'Konversiounstabell (oder de Rechner) gëtt d'Äntwert: x = Pi / 3. Den trigonometresche Krees gëtt eng aner Kéier (2Pi / 3) mam selwechte Wäert fir de Sinus (0,866). Den trigonometresche Krees liwwert och eng Onendlechkeet vun Äntwerten genannt verlängert Äntwerten.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, an x2 = 2Pi / 3. (Äntwerten bannent enger Period (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, an x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Détailléiert Äntwerten).
   • Beispill 2. Léisen: cos x = -1/2. Rechner ginn x = 2 Pi / 3. Den trigonometresche Krees gëtt och x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, an x2 = - 2Pi / 3. (Äntwerten fir Zäit (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, an x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Erweidert Äntwerten)
   • Beispill 3. Léisen: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Äntwert)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Erweidert Äntwert)
   • Beispill 4. Léisen: Koteng 2x = 1.732. Rechner an den trigonometresche Krees ginn:
   • x = Pi / 12; (Äntwert)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Erweidert Äntwerten)
3. Léiert d'Transformatiounen déi benotzt gi fir trigonometresch Equatiounen ze léisen.
   • Fir eng gegebene trigonometresch Equatioun zu Standard trigonometresche Gleichungen ze konvertéieren, benotzt Standard algebraesch Konversiounen (Faktoriséierung, gemeinsame Faktor, Polynomen ...), Definitiounen an Eegeschafte vun trigonometresche Funktiounen an trigonometresch Identitéiten. Et sinn ongeféier 31, 14 dovu sinn trigonometresch Identitéiten, vun 19 bis 31, och nach d'Transformatiounsidentitéiten genannt, well se an der Konversioun vun trigonometresche Gleichungen benotzt ginn. Kuckt dat uewendriwwer Buch.
   • Beispill 5: Déi trigonometresch Gleichung: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 kann an e Produkt vun der Basis trigonometrescher Gleichung mat trigonometresche Identitéiten ëmgewandelt ginn: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Déi Basis trigonometresch Equatioune fir ze léisen sinn: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; an cos (x / 2) = 0.
4. Fannt d'Kéieren, fir déi déi trigonometresch Funktioune bekannt sinn.
   • Ier Dir léiert wéi Dir trigonometresch Gläichunge léisen, musst Dir wëssen wéi séier d'Kéieren ze fannen fir déi d'Trigonometresch Funktioune bekannt sinn. Konversiounswäerter vu Kéieren (oder Wénkelen) kënne mat trigonometreschen Dëscher oder dem Rechner bestëmmt ginn.
   • Beispill: Léist fir cos x = 0,732. De Rechner gëtt d'Léisung x = 42,95 Grad. Den Eenheetskrees gëtt aner Kéieren mat dem selwechte Wäert fir de Kosinus.
5. Zeechent de Bogen vun der Äntwert op den Eenheetskrees.
   • Dir kënnt e Graf erstellen fir d'Léisung am Eenheetszirkel ze illustréieren. D'Ennpunkte vun dëse Kéiere si reegelméisseg Polygonen um trigonometresche Krees. E puer Beispiller:
   • D'Endpunkte vun der Kéier x = Pi / 3 + k. Pi / 2 ass e Quadrat um op der Eenheetskrees.
   • D'Kéiere vun x = Pi / 4 + k.Pi / 3 ginn duerch d'Koordinate vun engem Sechseck am Eenheetskrees duergestallt.
6. Léiert wéi Dir trigonometresch Gläichungen léisen.
   • Wann déi gegebene trigonometresch Equatioun nëmmen eng trigonometresch Funktioun enthält, léist se se als Standard trigonometresch Equatioun. Wann déi gegebene Gleichung zwou oder méi trigonometresch Funktiounen enthält, ginn et 2 Léisungsmethoden, ofhängeg vun den Optiounen fir d'Gleichung ze konvertéieren.
     • A. Method 1.
   • Konvertéiert déi trigonometresch Equatioun an e Produkt vun der Form: f (x) .g (x) = 0 oder f (x) .g (x) .h (x) = 0, wou f (x), g (x) an h (x) si grondleeënd trigonometresch Equatiounen.
   • Beispill 6. Léisen: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Léisung. Ersetzt sin 2x an der Gleichung mat der Identitéit: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Da léisen 2 Standard trigonometresch Funktiounen: cos x = 0, an (sin x + 1) = 0.
   • Beispill 7. Léisen: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Léisung: Konvertéiert dëst an e Produkt mat der trigonometrescher Identitéit: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Léist elo déi 2 Basis trigonometresch Equatiounen: cos 2x = 0, an (2cos x + 1) = 0.
   • Beispill 8. Léisen: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Léisung: Konvertéiert dëst an e Produkt, mat der trigonometrescher Identitéit: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Elo léisen déi 2 Basis trigonometresch Equatiounen: cos 2x = 0, an (2sin x + 1) = 0.
     • B. Approche 2.
   • Konvertéiert d'Trig-Gleichung zu enger Trig-Gleichung mat nëmmen enger eenzeger Trig-Funktioun als Variabel. Et ginn e puer Tipps wéi Dir eng passend Variabel wielt. Gemeinsam Variabelen sinn: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t an tan (x / 2) = t.
   • Beispill 9. Léisen: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Léisung. An der Gleichung ersetzt (cos ^ 2x) mat (1 - sin ^ 2x), a vereinfacht d'Equatioun:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Benotzt elo sin x = t. D'Gleichung gëtt: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Dëst ass eng quadratesch Gleichung mat 2 Wuerzelen: t1 = -1 an t2 = 9/5. Mir kënnen den zweeten t2 ofleenen, well> 1. Loosst Iech elo fir: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Beispill 10. Léisen: tan x + 2 tan ^ 2 x = Kot x + 2.
   • Léisung. Benotzt tan x = t. Konvertéiert déi gegebene Gleichung an eng Gleichung mat t als Variabel: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Léist fir t aus dësem Produkt, léist dann déi Standard trigonometresch Gleichung tan x = t fir x.
7. Spezial trigonometresch Equatioune léisen.
   • Et ginn e puer speziell trigonometresch Gläichungen déi e puer spezifesch Conversiounen erfuerderen. Beispiller:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Léiert déi periodesch Eegeschafte vun trigonometresche Funktiounen.
   • All trigonometresch Funktioune si periodesch, dat heescht datt se no enger Rotatioun iwwer eng Period op de selwechte Wäert zréckkommen. Beispiller:
     • D'Funktioun f (x) = sin x huet 2Pi als Period.
     • D'Funktioun f (x) = tan x huet Pi als Period.
     • D'Funktioun f (x) = sin 2x huet Pi als Period.
     • D'Funktioun f (x) = cos (x / 2) huet 4Pi als Period.
   • Wann d'Period an den Übungen / Test spezifizéiert ass, da musst Dir just d'Kurve (n) x an dëser Period fannen.
   • NOTIZ: Trigonometresch Gläichungen ze léisen ass komplizéiert a féiert dacks zu Feeler a Feeler. Dofir sollten d'Äntwerten suergfälteg kontrolléiert ginn. Nodeems Dir geléist hutt, kënnt Dir d'Äntwerten iwwer e Grafrechner kucken, fir eng direkt Duerstellung vun der gegebener trigonometrescher Gleichung R (x) = 0. D'Äntwerten (als Quadratwurzel) ginn an Dezimalplaze gegeben. Als Beispill huet Pi e Wäert vun 3.14