Inhalt

• Schrëtt
• Deel 1 vun 3: Faktoréiere Binomien
• Deel 2 vun 3: Faktoréiere Binomien fir d'Léisung vun Equatiounen
• Deel 3 vun 3: Komplex Probleemer léisen
• Tipps
• Warnungen

E Binomial (Binomial) ass e mathematesche Ausdrock mat zwee Begrëffer tëscht deenen et e Plus oder Minus Zeechen ass, zum Beispill, ${ displaystyle ax + b}$... Den éischte Member enthält d'Variabel, an den zweeten enthält oder enthält se net. Factoréiere vun engem Binomial involvéiert Begrëffer ze fannen déi, wa se multiplizéiert ginn, déi originell Binomial produzéiere fir se ze léisen oder ze vereinfachen.

Schrëtt

Deel 1 vun 3: Faktoréiere Binomien

1. 1 Verstinn d'Grondlage vum Faktoréierungsprozess. Beim Faktoréiere vun engem Binomial gëtt de Faktor deen e Divisor vun all Begrëff vun der ursprénglecher Binomial aus der Klammer ass geholl. Zum Beispill ass d'Zuel 6 komplett deelbar mat 1, 2, 3, 6. Also sinn d'Divisoren vun der Nummer 6 d'Zuelen 1, 2, 3, 6.
   • Divisoren 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • D'Divisoren vun enger Nummer sinn 1 an d'Zuel selwer. Zum Beispill, Divisoren vun 3 sinn 1 an 3.
   • Integer Divisoren kënnen nëmme ganz Zuelen sinn. D'Zuel 32 kann duerch 3.564 oder 21.4952 gedeelt ginn, awer Dir kritt keen Ganzt, awer eng Dezimalfraktioun.
2. 2 Bestellt d'Konditioune vum Binomial fir de Faktoréierungsprozess ze erliichteren. E Binomial ass d'Zomm oder den Ënnerscheed vun zwee Begrëffer, op d'mannst ee vun hinnen enthält eng Variabel. Heiansdo ginn d'Variabelen zu enger Kraaft erhéicht, zum Beispill, ${ displaystyle x ^ {2}}$ oder ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... Et ass besser d'Konditioune vum Binomial an opsteigend Uerdnung vun Exponenten ze bestellen, dat heescht, de Begrëff mam klengste Exponent gëtt als éischt geschriwwen, a mam gréissten - dee leschte. Zum Beispill:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ Displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Notéiert de Minuszeechen virun 2. Wann e Begrëff ofgezunn ass, schreift e Minuszeechen virun.
3. 3 Fannt de gréisste gemeinsame Divisor (GCD) vu béide Begrëffer. GCD ass déi gréisst Zuel mat där béid Membere vum Binomial deelbar sinn. Fir dëst ze maachen, fënnt d'Divisoren vun all Begrëff am Binomial, a wielt dann dee gréisste gemeinsamen Divisor. Zum Beispill:
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Divisoren 3: 1, 3
     • Divisoren 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Deelt all Begrëff am Binomial vum Greatest Common Divisor (GCD). Maacht dëst fir de GCD auszebauen. Notéiert datt all Member vum Binomial erofgeet (well et deelbar ass), awer wann de GCD aus der Klammer ausgeschloss ass, ass de leschte Ausdrock gläich wéi den Original.
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Fannt de GCD: 3
   • Deelt all Binomial Begrëff mat gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Beweegt den Divisor aus de Klammern. Virdru hutt Dir béid Begrëffer vum Binomial vum Divisor 3 opgedeelt a krut ${ displaystyle t + 2}$... Awer Dir kënnt net vun 3 lassgoen - fir datt d'Wäerter vun den initialen a leschte Ausdréck d'selwecht sinn, musst Dir 3 ausserhalb vun de Klammern setzen, an den Ausdrock schreiwen als Resultat vun der Divisioun an de Klammern. Zum Beispill:
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Fannt de GCD: 3
   • Deelt all Binomial Begrëff mat gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Multiplizéiert den Divisor mam resultéierende Ausdrock:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Äntwert: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Préift Är Äntwert. Fir dëst ze maachen, multiplizéiert de Begrëff virun de Klammeren mat all Begrëff bannent de Klammeren. Wann Dir d'Original Binomial kritt, ass d'Léisung richteg. Elo léist de Problem ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Bestellt Memberen:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Fannt de GCD:${ displaystyle 6}$
   • Deelt all Binomial Begrëff mat gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Multiplizéiert den Divisor mam resultéierende Ausdrock:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Préift d'Äntwert:${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Deel 2 vun 3: Faktoréiere Binomien fir d'Léisung vun Equatiounen

1. 1 Faktoréiert de Binomial fir et ze vereinfachen an d'Gläichung ze léisen. Op den éischte Bléck schéngt et onméiglech e puer Equatioune ze léisen (besonnesch mat komplexe Binomien). Zum Beispill, léist d'Gleichung ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Et gi Kräften an dëser Equatioun, also faktoréiert den Ausdrock als éischt.
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Denkt drun datt e Binomial zwee Memberen huet. Wann den Ausdrock méi Begrëffer enthält, léiert wéi Dir Polynome léist.
2. 2 Füügt oder zitt e Monomial op béid Säiten vun der Gleichung of, fir datt Null op enger Säit vun der Gleichung bleift. Am Fall vun der Faktoriséierung baséiert d'Léisung fir Gleichungen op der onverännerlecher Tatsaach datt all Ausdrock multiplizéiert mat Null gläich ass wéi Null. Dofir, wa mir d'Gläichung op Null gläichstellen, da muss ee vu senge Faktore gläich wéi Null sinn. Set eng Säit vun der Gleichung op 0.
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Set op Null:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Faktor déi resultéierend Behälter. Maacht dëst wéi an der viregter Sektioun beschriwwen. Fannt de gréisste gemeinsame Faktor (GCD), deelt béid Begrëffer vum Binomial domat, a réckelt dann de Faktor aus de Klammern.
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Set op Null:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Setzt all Faktor op Null. Am resultéierende Ausdrock gëtt 2y multiplizéiert mat 4 - y, an dëst Produkt ass gläich wéi Null. Well all Ausdrock (oder Begrëff) multiplizéiert mat Null null ass, dann ass 2y oder 4 - y 0. Set de resultéierende Monomial a Binomial op Null fir "y" ze fannen.
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Set op Null:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Faktor:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Setzt béid Faktoren op 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Léist déi resultéierend Gleichungen fir déi lescht Äntwert (oder Äntwerten) ze fannen. Well all Faktor op Null entsprécht, kann d'Gleichung verschidde Léisungen hunn. An eisem Beispill:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0 dir
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4 an
6. 6 Préift Är Äntwert. Fir dëst ze maachen, ersetzen déi fonnt Wäerter an d'Original Equatioun. Wann d'Gläichheet richteg ass, dann ass d'Entscheedung richteg. Ersetzen déi fonnt Wäerter anstatt "y". An eisem Beispill, y = 0 an y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Dëst ass déi richteg Entscheedung
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$An dëst ass déi richteg Entscheedung

Deel 3 vun 3: Komplex Probleemer léisen

1. 1 Denkt drun datt e Begrëff mat enger Variabel och faktoriséiert ka ginn, och wann d'Variabel op eng Kraaft erhéicht gëtt. Beim Faktoréiere musst Dir e Monomial fannen deen all Member vun der Binomial integral deelt. Zum Beispill de Monomial ${ displaystyle x ^ {4}}$ kann faktoriséiert ginn ${ Displaystyle x * x * x * x}$... Dat ass, wann den zweete Begrëff vum Binomial och d'Variabel "x" enthält, da kann "x" aus de Klammern erausgeholl ginn. Also behandelt d'Variabelen als Ganzt. Zum Beispill:
   • Béid Membere vum Binomial ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ enthält "t", sou datt "t" aus der parenthesis erausgeholl ka ginn: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Och eng Variabel, déi op eng Kraaft opgewuess ass, kann aus der Klammer geholl ginn. Zum Beispill béid Membere vum Binomial ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ enthalen ${ displaystyle x ^ {2}}$, esou ${ displaystyle x ^ {2}}$ kann aus der Klammer geholl ginn: ${ Displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}}$
2. 2 Fügt oder subtrahéiert ähnlech Begrëffer fir e Binomial ze kréien. Zum Beispill, nom Ausdrock ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Op den éischte Bléck ass dëst e Polynom, awer tatsächlech kann dësen Ausdrock an e Binomial ëmgewandelt ginn. Fügt ähnlech Begrëffer derbäi: 6 a 14 (enthält keng Variabel), an 2x an 3x (enthalen déi selwecht Variabel "x"). An dësem Fall gëtt de Faktorprozess vereinfacht:
   • Original Ausdrock:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Bestellt Memberen:${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Füügt ähnlech Begrëffer derbäi:${ Displaystyle 5x + 20}$
   • Fannt de GCD:${ Displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Faktor:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Faktor den Ënnerscheed vu perfekte Quadrate. E perfekte Quadrat ass eng Zuel där hir Quadratwurzel zum Beispill en Ganzt ass ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ Displaystyle (x * x)}$ a souguer ${ Displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Wann d'Binomial den Ënnerscheed vu perfekte Quadrater ass, zum Beispill, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, da gëtt se faktoriséiert duerch d'Formel:
   • Differenz vu Quadratformel:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Eng Aufgab:${ Displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Extrait de Quadratwurz:
     • ${ Displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Ersetzen déi fonnt Wäerter an d'Formel: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Faktor den Ënnerscheed tëscht de komplette Wierfel. Wann d'Binomial den Ënnerscheed vu komplette Kubel ass, zum Beispill, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, da gëtt se faktoriséiert mat enger spezieller Formel. An dësem Fall ass et noutwendeg d'Würfelwurzel aus all Member vum Binomial ze extrahieren, an déi fonnt Wäerter an d'Formel z'ersetzen.
   • D'Formel fir den Ënnerscheed tëscht Wierfel:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrakt kubesch Wuerzelen:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Ersetzen déi fonnt Wäerter an d'Formel: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Faktor d'Zomm vun de vollen Kubel. Am Géigesaz zu der Zomm vu perfekte Quadraten ass d'Zomm vu komplette Kubel, zum Beispill, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, ka mat enger spezieller Formel faktoriséiert ginn. Et ass ähnlech wéi d'Formel fir den Ënnerscheed tëscht Wierfel, awer d'Zeeche sinn ëmgedréint. D'Formel ass zimmlech einfach - fir se ze benotzen, fënnt d'Zomm vu voller Kubel am Problem.
   • D'Formel fir d'Zomm vu Kubel:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Eng Aufgab:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Extrakt kubesch Wuerzelen:
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Ersetzen déi fonnt Wäerter an d'Formel: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Tipps

• Heiansdo hunn Binomialmemberen keen gemeinsamen Divisor. An e puer Aufgaben ginn d'Memberen an enger vereinfachter Form presentéiert.
• Wann Dir de GCD net direkt fannt, start mat deelen duerch kleng Zuelen. Zum Beispill, wann Dir net gesitt datt de GCD vun den Zuelen 32 a 16 16 ass, deelt déi zwou Zuelen mat 2. Dir kritt 16 an 8; dës Zuelen kënnen gedeelt ginn duerch 8. Elo kritt Dir 2 an 1; dës Zuelen kënnen net reduzéiert ginn. Also ass et offensichtlech datt et eng méi grouss Zuel ass (am Verglach mat 8 an 2), wat de gemeinsame Divisor vun den zwou uginn Zuelen ass.
• Notéiert datt sechster Uerdnung Begrëffer (mat engem Exponent vu 6, zum Beispill x) béid perfekt Quadraten a perfekt Wierfele sinn. Also, fir Binomien mat sechsten Uerdnung Begrëffer, zum Beispill, x - 64, kann een (an all Uerdnung) d'Formelen fir den Ënnerscheed vu Quadraten an den Ënnerscheed vu Kubel uwenden. Awer et ass besser fir d'éischt d'Formel fir d'Differenz vun de Quadraten anzesetzen fir méi korrekt mat engem Binomium zersetzen.

Warnungen

• E Binomial, dat ass d'Zomm vu perfekte Quadraten, kann net faktoriséiert ginn.