Inhalt

• Ze trëppelen
• Deel 1 vun 3: D'Basis vun der Analyse
• Deel 2 vun 3: Derivate verstoen
• Deel 3 vun 3: Integraler verstoen
• Tipps

Analyse (och genannt Calculus) ass eng Branche vun der Mathematik fokusséiert op Grenzen, Funktiounen, Derivaten, Integraler an onendlech Serien. Dëst Thema behandelt vill Mathematik, an ënnerläit vill vun de Formelen an Equatiounen déi an der Physik a Mechanik benotzt ginn. Dir musst méiglecherweis e puer Joer Mathematik am Lycée hunn fir d'Analyse richteg ze verstoen, awer dësen Artikel féiert Iech un d'Léieren d'Schlësselkonzepter ze erkennen wéi och e bessert Verständnis vun der Theorie.

Ze trëppelen

Deel 1 vun 3: D'Basis vun der Analyse

1. Analyse ass d'Studie wéi d'Saachen änneren. Analyse ass eng Branche vun der Mathematik déi Zuelen a Grafike préift, normalerweis aus real-Weltdaten geholl an erkläert wéi se sech änneren. Och wann dëst ufanks net ganz nëtzlech schéngt, ass d'Analyse eng vun de meescht benotzt Branchen vun der Mathematik. Stellt Iech vir datt Dir d'Tools hutt fir Iech ze soen wéi séier Äert Geschäft zu all Zäit wiisst, oder wéi Dir de Verlaaf vun engem Raumschëff zielt a wéi séier säi Brennstoff opgebraucht gëtt. Analyse ass e wichtegt Instrument am Ingenieur, Wirtschaft, Statistik, Chimie a Physik, an huet zu villen Erfindungen an Entdeckunge bäigedroen.
2. Funktiounen si Bezéiungen tëscht zwou Zuelen a gi benotzt fir Bezéiungen ze kartéieren. Si si Regele fir d'Relatioun tëscht Zuelen, a Mathematiker benotze se fir Grafike ze maachen. An enger Funktioun huet all Input genau een Resultat. Zum Beispill: an ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Denkt un d'Konzept vun der Onendlechkeet. Onendlechkeet ass déi konstant Widderhuelung vun engem Prozess. Et ass net eng spezifesch Plaz (Dir kënnt net an d'Onendlechkeet goen), mä éischter d'Behuele vun enger Zuel oder Equatioun, wann et fir ëmmer gemaach gëtt. Dëst ass wichteg fir d'Verännerung ze studéieren: Dir wëllt wësse wéi séier Ären Auto zu all Zäit bewegt, awer ass dat wéi séier Ären Auto an der aktueller Sekonn fiert? Millisekonn? Nanosekonn? Dir fannt onendlech méi kleng Stécker Zäit fir nach méi präzis ze sinn, an da kënnt d'Analyse eran.
3. Verstinn d'Konzept vu Grenzen. Eng Limite seet Iech wat geschitt wann eppes un d'Onendlechkeet kënnt. Huelt d'Nummer 1 an deelt se mat 2. Bleift ëmmer erëm mat 2 ze deelen. 1 gëtt 1/2 an dann 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, asw. All Kéier wann d'Zuel ëmmer méi kleng gëtt, "méi no bei" Null. Awer wou hält et op? Wéi oft musst Dir 1 op 2 deelen fir Null ze kréien? Amplaz dës Fro ze beäntweren, an der Analyse setzt Dir eng limitéieren An dësem Fall ass d'Limit.
   • Limiten sinn am einfachsten ze visualiséieren an enger Grafik - zum Beispill, sinn et Punkten déi eng Grafik bal beréiert, awer ni ganz?
   • Limitte kënne Zuel sinn, onendlech oder och net existent. Zum Beispill, mat der Zousatzsequenz 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... an dëst geet onendlech weider, d'Finale Zuel gëtt onendlech grouss. D'Limit gëtt dann onendlech.
4. Iwwerpréift déi wesentlech mathematesch Konzepter vun der Algebra, der Trigonometrie an de Grondlage vun der Mathematik. Analyse baséiert op vill vun der Mathematik déi Dir virdru geléiert hutt. Sinn gutt informéiert iwwer all d'Themen mécht et vill méi einfach d'Analyse ze léieren an ze verstoen. E puer Themen fir opzestellen sinn:
   • Algebra. Dir musst déi verschidde Prozesser verstoen a fäeg sinn Equatioune a Systemer vun Equatioune mat méi Variabelen ze léisen. D'Grondlage vun de Sammlunge verstoen. Praxis Grafike maachen.
   • Geometrie. Geometrie ass d'Studie vu Formen. Dir sollt Basiskenntnisser vun Dräieck, Rechtecker a Kreeser hunn, a wéi Dir Saache wéi Perimeter a Fläch berechent. Engelen, Linnen a Koordinaten verstoen
   • Trigonometrie. Trigonometrie ass déi Branche vun der Mathematik déi sech mat den Eegeschafte vu Kreeser a richtegen Dräieck beschäftegt. Wësse wéi Dir trigonometresch Identitéiten, Grafiken, Funktiounen an invers trigonometresch Funktiounen benotzt.
5. Kaaft e Grafikrechner. Analyse ass net einfach ze verstoen ouni ze gesinn wat Dir maacht. Grafrechner maachen d'Funktiounen visuell, fir datt Dir besser ka verstoen mat wéi eng Equatioune Dir ze dinn hutt. Oft ginn d'Limiten och um Bildschierm ugewisen, an d'Derivate a Funktioune ginn automatesch berechent.
   • Vill Smartphones a Pëllen haut bëlleg awer effektiv Grafik Apps ubidden wann Dir kee Grafrechner wëllt oder net ka kafen.

Deel 2 vun 3: Derivate verstoen

1. Analyse gëtt benotzt fir "Ännerung zu engem spezifesche Moment" ze studéieren. Wësse firwat eppes an engem exakte Moment ännert ass de Kär vun der Analyse. Zum Beispill, Analyse gëtt Iech net nëmmen d'Geschwindegkeet vun engem Auto, awer och wéi vill déi Geschwindegkeet zu all Zäit ännert. Dëst ass eng vun den einfachsten Analysegebrauchen, awer ganz wichteg. Stellt Iech vir wéi wichteg sou Informatioun ass fir d'Geschwindegkeet ze bestëmmen déi et brauch fir e Raumschëff op de Mound ze kréien!
   • Bestëmmung vun der Verännerung zu engem bestëmmten Zäitpunkt huet differenzéieren. Differenzéierung ass déi éischt vun den zwou Haaptzweige vun der Analyse.
2. Benotzt Derivate fir ze verstoen wéi d'Saachen zu enger bestëmmter Zäit änneren. Eng "Derivat" ass e flott Wuert fir eppes wat Studenten dacks nervös mécht. Wéi och ëmmer, d'Konzept selwer ass net sou schwéier ze verstoen - et heescht just "wéi séier eppes ännert." Déi Derivater déi Dir am meeschten am Alldag begéine wäert hu mat Geschwindegkeet ze dinn. Wéi och ëmmer, Dir nennt et normalerweis net "der Derivat der Geschwindegkeet", mee einfach "Beschleunegung."
   • Beschleunegung ass eng Derivat - et seet Iech wéi séier eppes beschleunegt oder verlangsamt, oder wéi seng Geschwindegkeet ännert.
3. Wësst datt den Taux vun der Verännerung gläich wéi den Hang tëscht zwee Punkten ass. Dëst ass eng vun de wichtegsten Entdeckungen vun der Analyse. Den Taux vun der Verännerung tëscht zwee Punkten ass gläich wéi den Hang vun der Linn tëscht dësen zwee Punkten. Denkt just un eng einfach Linn, wéi déi vun der Gleichung ${ displaystyle y = 3x.}$Wësst datt Dir den Hang vu kromme Linnen bestëmme kënnt. Den Hang vun enger riichter Linn ze bestëmmen ass relativ einfach: wéi vill ännert ${ displaystyle y}$Wann Dir d'Verännerung méi präzis wëllt berechnen, gitt sécher datt d'Punkte méi no beienee leien. Wat Dir méi no déi zwee Punkte wielt, wat Är Äntwert méi präzis ass. Stellt Iech vir, Dir wéilt wësse wéi vill Ären Auto beschleunegt wann Dir de Beschleuniger dréckt. Dir wëllt d'Verännerung vun der Geschwindegkeet tëscht Ärem Haus an dem Supermarché net moossen, awer d'Verännerung vun der Geschwindegkeet vum Moment wou Dir de Beschleuniger getraff hutt. Wat Är Liesung méi no un där Sekonnennopgang kënnt, wat Dir méi genee Är Berechnung vun der Ännerung kënnt.
   • Zum Beispill, Wëssenschaftler ënnersichen wéi séier verschidden Aarte ausstierwen fir se ze retten. Wéi och ëmmer, méi Déieren stierwen am Wanter wéi am Summer, sou datt et net nëtzlech ass den Taux vun der Verännerung am ganze Joer ze studéieren - et ass besser den Taux vun der Verännerung bannent enger méi klenger Period ze bestëmmen, sou wéi vum 1. Juli bis den 1. August.
4. Benotzt onendlech kuerz Zeilen fir den "instantaneous rate of change" ze bestëmmen oder d'Derivat ze fannen. Dëst ass wou d'Analyse dacks e bëssen duerchernee gëtt, awer dëst ass tatsächlech d'Resultat vun zwou einfache Fakten. Als éischt wësst Dir datt den Hang vun enger Linn gläich ass wéi séier dës Linn ännert. Zweetens, Dir wësst datt wat d'Punkte vun der Linn méi no beienee sinn, wat d'Liese méi korrekt gëtt. Awer wéi fannt Dir den Taux vun der Verännerung zu engem bestëmmte Punkt wann den Hang d'Relatioun tëscht zwee Punkten ass? D'Äntwert: Dir wielt zwee Punkten déi onendlech no beienee leien.
   • Betruecht d'Beispill wou Dir weider 1 vun 2 deelt, sou datt Dir 1/2, 1/4, 1/8, etc. Also um Enn kommt Dir no bei Null, an d'Äntwert ass "bal Null". D'Punkte si sou no beienee datt se "bal gläich mateneen" sinn. Dëst ass d'Natur vun Derivaten.
5. Léiert wéi verschidde Derivate bestëmmen. Et ginn eng Hellewull verschidden Techniken fir eng Derivat ofhängeg vun der Equatioun ze fannen, awer déi meescht vun hinnen sinn sënnvoll wann Dir d'Grondlage vun Derivaten uewen memoriséiert hutt. All Derivate sinn e Wee fir den Hang vun enger "onendlecher" Linn ze fannen. Elo wësst Dir méi iwwer Derivattheorie, vill vun der Aarbecht ass d'Äntwerten ze fannen.
6. Fannt déi ofgeleet Equatioune fir den Taux vun der Verännerung zu all Moment virauszesoen. Et ass nëtzlech Derivate ze benotzen fir den Taux vun der Verännerung zu all Zäit ze bestëmmen, awer d'Schéinheet vun der Analyse ass datt Dir en neie Modell fir all Funktioun erstallt. Der Derivat vum ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Wann Dir dëst schwéier fannt ze verstoen, probéiert Iech richteg Beispiller vun Derivaten ze erënneren. Dat einfachst Beispill baséiert op der Geschwindegkeet, déi vill verschidde Derivate enthält, déi mir all Dag begéinen. Vergiess net: eng Derivat ass eng Moossnam wéi séier eppes ännert. Denkt un en einfacht Experiment. Dir rullt e Marmer op en Dësch a moosst wéi wäit e sech beweegt a wéi séier all Kéier. Stellt Iech elo vir, datt de rullende Marber eng Linn op enger Grafik follegt - Dir benotzt Derivate fir déi momentan Ännerungen zu all Moment op där Linn ze moossen.
   • Wéi séier geet de Marmer? Mat wéi enger Vitesse ännert d'Positioun (oder Derivat) vum beweegte Marber? Mir nennen dës Derivat "Geschwindegkeet".
   • Roll de Marmer laanscht eng Steigung a kuckt wéi d'Geschwindegkeet ännert. Wat ass den Taux vu Verännerung, oder Derivat, vun der Geschwindegkeet vum Marber? Dës Derivat ass wat mir "Beschleunegung" nennen.
   • Rollt de Marber laanscht eng gewellte Bunn, wéi eng Achterbunn. A wéi engem Ausmooss kritt d'Marmer Geschwindegkeet wann se erofrullt, a wéi wäit bremst de Marmor biergof? Wéi séier geet de Marber genau wann et hallef um éischte Bierg erop ass? Dëst ass den Ament Taux vun der Verännerung, oder der Derivat, vun deem Marber op deem spezifesche Punkt.

Deel 3 vun 3: Integraler verstoen

1. Wësst datt Dir Analyse benotze kënnt fir komplex Gebidder a Volumen ze fannen. Mat Analyse kënnt Dir komplex Forme moossen déi soss schwéier ze moossen sinn. Bedenkt zum Beispill de Problem datt Dir wësse wëllt wéi vill Waasser e laangen, onregelméisseg geformte Séi enthält - et ass onméiglech all Liter Waasser getrennt ze moossen oder en Lineal ze benotzen fir d'Form vum Séi ze moossen. Mat Analyse kënnt Dir studéiere wéi d'Kante vum Séi sech veränneren an dann dës Informatioun benotze fir erauszefannen wéi vill Waasser et enthält.
   • Maacht geometresch Modeller an d'Studie vu Volumen integréieren. Integréiert Kalkül ass déi zweet wichteg Branche vun der Analyse.
2. Wësst datt d'Integratioun d'Gebitt ënner enger Grafik ass. Integratioun gëtt benotzt fir de Raum ënner enger Linn ze moossen, wat Iech erlaabt d'Gebitt vu komeschen oder onregelméissege Formen ze bestëmmen. Huelt d'Gleichung ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Wësst datt Dir e Gebitt auswiele musst fir z'integréieren. Dir kënnt net einfach eng ganz Funktioun integréieren. Zum Beispill, ${ displaystyle y = x}$Denkt drun wéi d'Gebitt vun engem Rechteck ausgerechent gëtt. Stellt Iech vir datt Dir eng flaach Linn iwwer enger Grafik hutt, wéi z ${ displaystyle y = 4.}$Wësst datt an integraler Kalkül vill kleng Rechtecker bäigefüügt sinn fir de Beräich vun engem Gebitt ze fannen. Wann Dir eng Kurve enorm vergréissert, da schéngt et eng direkt Linn ze sinn. Dir gesitt dat all Dag - Dir kënnt d'Krümmung vun der Äerd net gesinn, well Dir sou no bei der Äerduewerfläch sidd. Integratioun erstellt eng onendlech Zuel vu klenge Rechtecker ënner enger Kéier déi sou kleng sinn datt se am Fong flaach sinn, sou datt Dir se ziele kënnt. All dës Rechtecker, déi zesummegefaasst sinn, bilden d'Gebitt vum Gebitt ënner enger Kéier.
   • Stellt Iech vir datt Dir vill kleng Segmenter ënnert der Grafik zesummesetzt, an dat ass d'Breet vun all Segment bal ass null.
3. Wësse wéi d'Integraler korrekt liesen a schreiwen. Integraler bestinn aus 4 Deeler. Eng typesch Integral gesäit esou aus:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Léiert méi iwwer Integraler ze fannen. Integratioun kënnt a ville Formen, an Dir musst vill verschidde Formele léieren fir all Funktioun z'integréieren. Wéi och ëmmer, se all befollegen déi uewe genannte Prinzipien: Integratioun ass d'Zomm vun enger onendlecher Unzuel u Saachen.
   • Integréiert duerch Ersatz.
   • Berechent onbestëmmten Integraler.
   • Integréiert duerch Deele.
4. Wësst datt d'Integratioun de Géigendeel vun der Differenzéierung ass a vice versa. Dëst ass eng Fauschtregel vun der Analyse déi sou wichteg ass datt se hiren eegene Numm krut: de Principal Theorem of Integral Calculation.Well d'Integratioun an d'Differenzéierung sou enk matenee verbonne sinn, kann eng Kombinatioun vun deenen zwee benotzt ginn fir den Taux vu Verännerung, Beschleunegung, Geschwindegkeet, Standuert, Bewegung, asw. Ze bestëmmen, egal wéi eng Informatioun Dir hutt.
   • Zum Beispill, erënners datt d'Derivat vun der Geschwindegkeet d'Beschleunigung ass, sou datt Dir d'Geschwindegkeet benotze kënnt fir d'Beschleunegung ze fannen. Awer wann Dir nëmmen d'Beschleunegung vun eppes wësst (wéi zum Beispill Objete fale wéinst der Schwéierkraaft), da kënnt Dir integréieren fir d'Geschwindegkeet erëm z'erreechen!
5. Wësst datt Dir mat Integratioun och de Volume vun 3D Objete kontrolléiere kënnt. Eng flaach Form rotéieren ass ee Wee fir 3D Feststoffer ze kreéieren. Stellt Iech vir eng Mënz déi um Dësch dréit - bemierkt wéi d'Mënz d'Form vun enger Kugel erschéngt wéi se dréit. Dëst Konzept erlaabt Iech de Volume ze bestëmmen no engem Prozess bekannt als "Volumen duerch Rotatioun".
   • Dëst erlaabt Iech de Volume vun all Fest ze bestëmmen, soulaang Dir eng Funktioun hutt déi et duerstellt. Zum Beispill kënnt Dir eng Funktioun erstellen déi de Buedem vun engem Séi verfollegt an duerno benotzt fir de Volume vum Séi ze bestëmmen oder wéi vill Waasser en enthält.

Tipps

• Praxis mécht perfekt, also maacht d'Praxisübungen an Ärem Léierbuch - och déi vun Ärem Enseignant net ginn - a kontrolléiert Är Äntwerten fir Iech ze hëllefen d'Konzepter besser ze verstoen.
• Wann Dir keng Léisung fannt, frot Äre Proff.